Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

8 1 Stammfunktion und Integral Einige Stammfunktionen Funktion eine Stammfunktion Beweis f(x) = k (mit k * R ) F(x) = k · x F’(x) = k = f(x) f(x) = x r (mit r * R , r ≠ –1) F(x) =   x r + 1 _  r + 1 F’(x) =   1 _  r + 1 · (r + 1) · x r = x r = f(x) f(x) = sin x F(x) = – cos x F’(x) = – (– sin(x)) = sin(x) = f(x) f(x) = cos x F(x) = sin x F’(x) = cos(x) = f(x) f(x) = e x F(x) = e x F’(x) = e x = f(x) f(x) = a x (mit a * R + , a ≠ 1) F(x) =   a x _  lna F’(x) =   1 _  lna · a x · lna = a x = f(x) f(x) =   1 _  x F(x) = ln † x † F’(x) =   1 _  x = f(x) Stammfunktionen von Summen und Vielfachen von Funktionen Sind f und g reelle Funktionen mit dem Definitionsbereich A, dann sind die Funktionen f + g, f – g und k · f (mit k * R ) auf A definiert durch: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (f – g)(x) = f(x) – g(x), (k · f)(x) = k · f(x) Satz Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann gilt: (1) F + G ist eine Stammfunktion von f + g. (2) F – G ist eine Stammfunktion von f – g. (3) k · F ist eine Stammfunktion von k · f (wobei k * R ). Beweis: Für alle x * A gilt: (1) (F + G)’(x) = F’(x) + G’(x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x) (2) (F – G)’(x) = F’(x) – G’(x) = f(x) – g(x) = (f – g)(x) (3) (k · F)’(x) = k · F’(x) = k · f(x) = (k · f)(x)  Die Regel (1) dieses Satzes kann für beliebig viele Summanden verallgemeinert werden. In Aufgabe 1.10 wird dies für drei Summanden durchgeführt. Stammfunktionen von Polynomfunktionen Mit Hilfe der bisher bewiesenen Sätze können wir zu jeder Polynomfunktion eine Stammfunktion ermitteln. Ist f eine Polynomfunktion mit f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 , dann ist die folgende Funktion F eine Stammfunktion von f: F(x) =   a n _  n + 1 x n + 1 +   a n – 1 _ n  x n + … +   a 1 _  2 x 2 + a 0 x Überprüfe dies selbst durch Differenzieren! Stammfunktionen von rationalen Funktionen Rationale Funktionen kann man mit Hilfe der Quotientenregel problemlos differenzieren, es gibt aber für rationale Funktionen keine allgemeine Regel zur Ermittlung von Stammfunktionen. In einigen Fällen kann man eine Stammfunktion finden, wenn man den Funktionsterm in geeig- neter Weise umformt, wie die nächste Aufgabe zeigt. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv