Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

79 Φ (–z) 1 – Φ (z) z –z 0 x 5.2 Normalverteilte Zufallsvariablen Viele Zufallsvariablen in naturwissenschaftlichen, technischen und ökonomischen Anwendungen besitzen eine Dichtefunktion, deren Graph eine glockenförmige Kurve ist. Nebenstehend ist als Beispiel die Verteilung der Durchmesser bei einer Produktion von Stahlstiften dargestellt. Weitere Beispiele so verteilter Zufallsvariablen: Fertigungsmaße (zB Länge, Dicke, Masse) von Industrieprodukten, Messergebnisse, Körpergröße von Neugeborenen, Intelligenzquotient von Erwachsenen, Flugzeit einer Fluglinie auf einer bestimmten Strecke etc. Weil solche Verteilungen häufig vorkommen, bezeichnet man diese als „Normalverteilungen“. Durch theoretische Überlegungen kam Carl Friedrich GAUSS (1777–1855) zum Ergebnis, dass die Dichtefunktion f einer solchen Verteilung durch folgende Termdarstellung beschrieben werden kann: Dichtefunktion einer Normalverteilung: f(x) =   1 _  9 __ 2 πσ · e – 1  _ 2 · 2    x – μ _  σ 3 2 Diese Funktion hängt von den Parametern μ und σ ab. Der Graph dieser Funktion heißt Gauß’sche Glockenkurve mit den Parametern μ und σ . Man kann zeigen, dass μ die einzige Maximumstelle von f ist und dass μ – σ und μ + σ Wendestellen von f sind (Aufgabe 5.14). Definition Normalverteilung Eine Zufallsvariable X, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung durch eine Gauß’sche Glockenkurve mit den Parametern μ und σ beschrieben werden kann, heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ . Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X bezeichnet man als Normalverteilung mit den Parametern μ und σ . Die Parameter μ und σ spielen eine analoge Rolle wie Erwartungswert und Standardabweichung bei diskreten Verteilungen. Man nennt daher μ den Erwartungswert und σ die Standard- abweichung der Zufallsvariablen X bzw. der Normalverteilung. Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mit Tabellen Um Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Zufallsvariablen zu berechnen, muss man Inhalte von Flächen ermitteln, die von der Dichtefunktion in bestimmten Intervallen festgelegt werden. Dafür gibt es Tabellen. Da die Form einer Gauß’schen Glockenkurve von den Parametern μ und σ abhängt, müsste man im Prinzip für jedes Paar ( μ 1 σ ) eine eigene Tabelle anlegen. Man kommt allerdings mit einer einzigen Tabelle aus, weil man jede Glockenkurve durch eine einfache Skalenänderung auf eine Glockenkurve mit den Parametern μ = 0 und σ = 1 zurück- führen kann. Man ersetzt dazu die Skalenmarkierungen … μ – 3 σ , μ – 2 σ , μ – σ , μ , μ + σ , μ + 2 σ , μ + 3 σ , … durch … – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, … und allgemein μ + z · σ durch z. 3,00 3,04 3,08 Durchmesser (in mm) 2,96 2,92 μ μ – σ μ + σ x f Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv