Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

78 5 Die Normalverteilung Eine Dichtefunktion f hat folgende Eigenschaften: 1) f ist (im Allgemeinen) stetig. 2) f nimmt nur nichtnegative Werte an. 3) Der Inhalt der gesamten Fläche, die die Dichtefunktion f mit der ersten Achse einschließt, ist gleich 1. (Denn irgendeinen Wert x * R nimmt die Zufallsvariable X sicher, also mit der Wahrscheinlichkeit 1 an.) Eine Verteilungsfunktion F einer stetigen Zufallsvariablen hat folgende Eigenschaften: 1) F ist stetig. 2) F ist monoton steigend. 3) ​ lim    x ¥  – • ​ F(x) = 0 und ​lim     x ¥ • ​ F(x) = 1 5.02 Begründe anhand der Abbildung: P(X ª a) = P(X < a) Lösung: Der Inhalt der grün unterlegten Fläche ist unabhängig davon, ob man die Begrenzungsstrecke am rechten Rand hinzunimmt oder nicht. Rechnerisch kann man dies mit der Additionsregel der Wahrscheinlichkeitsrechnung beweisen: P(X ª a) = P(X < a) + P(X = a) = P(X < a) + 0 = P(X < a) Auf analoge Weise lassen sich folgende Formeln begründen: P(X º a) = P(X > a) P(a ª X ª b) = P(a < X < b) = P(a < X ª b) = P(a ª X < b) Beachte: Bei einer stetigen Zufallsvariablen tritt die Dichtefunktion an die Stelle der Wahrscheinlichkeitsfunktion. Der Wert f(x) einer Dichtefunktion f gibt jedoch nicht (!) die Wahrscheinlichkeit P(X = x) an. Diese Wahrscheinlichkeit ist nämlich stets gleich null (obwohl der Versuchsausfall X = x prinzipiell eintreten kann). Aufgaben Grundkompetenzen 5.03 Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Augensumme zweier Würfel ist durch die nachfolgende Tabelle gegeben. 1) Ergänze die Tabelle durch die Werte der Verteilungsfunktion! 2) Stelle die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion durch Stabdiagramme dar! Werte ​a​ i ​der Augensumme 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Wahrscheinlichkeit P(​a​ i ​) ​  1 _  36 ​ ​  2 _  36 ​ ​  3 _  36 ​ ​  4 _  36 ​ ​  5 _  36  ​ ​  6 _  36  ​ ​  5 _  36 ​ ​  4 _  36 ​ ​  3 _  36 ​ ​  2 _  36  ​ ​  1 _  36  ​ Verteilungswerte F(​a​ i ​) 5.04 Eine Zufallsvariable X sei stetig verteilt. Drücke die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Verteilungsfunktion F von X aus! 1) P(X < x) 3) P(a < X < b), falls a < b 2) P(X > x) 4) P(X < a = X > b), falls a < b P(– • < X < • ) = 1 x f a P(X ª a) = F(a) x f Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv