Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

77 5.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Es gibt auch Zufallsvariablen, die unendlich viele, nicht abzählbare Werte annehmen können, zum Beispiel alle Werte in einem Intervall (welches auch ganz R sein kann). Solche Zufalls- variablen bezeichnet man als stetige Zufallsvariablen . Wie berechnet man Wahrscheinlichkeiten für stetige Zufallsvariablen? 5.01 Bei einer Produktion von Hunderternägeln (dh. Nägel der Länge 100mm) treten produktionsbedingte Schwankungen der Nagel- länge X auf. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig der Produktion entnommener Nagel genau 98,275mm lang ist? Lösung: Da es unendlich viele mögliche Nagellängen gibt, ist das Ereignis, dass der entnommene Nagel gerade die genaue Länge 98,275 mm aufweist, so unwahrscheinlich, dass man diese Wahrscheinlichkeit sinnvollerweise gleich 0 setzt. Anders als in Aufgabe 5.01 ist die Situation, wenn man beispielsweise nach der Wahrscheinlich- keit fragt, dass die Nagellänge X höchstens 101mm beträgt. Wir betrachten dazu verschiedene Klasseneinteilungen im Bereich aller möglichen Nagellängen und zeichnen Histogramme, wobei die Flächeninhalte der Rechtecke den Wahrscheinlichkeiten in den einzelnen Klassen entsprechen. In Abb. 5.1 ist ein Histogramm mit der Klassenbreite 1 gezeich- net, in Abb. 5.2 eines mit der Klassenbreite 0,5. Wenn man die Klassenbreite fortlaufend verkleinert, werden die Rechtecke immer dünner, bis sie schließlich im Grenzfall „unendlich dünn“ werden und eine Fläche wie in Abb. 5.3 bilden. In allen drei Abbildungen ist die Wahrscheinlichkeit P(X ª 101) eingezeichnet. Sie entspricht in allen drei Abbildungen dem Inhalt der grün unterlegten Fläche. Abb. 5.1 Abb. 5.2 Abb. 5.3 Diese Überlegungen legen nahe, eine Wahrscheinlichkeit der Form P(X ª a) für eine stetige Zufallsvariable als Inhalt einer Fläche unter dem Graphen einer passenden Funktion f anzu- geben. Diese Funktion bekommt einen eigenen Namen. Definition Sei X eine stetige Zufallsvariable. „� Es sei f die Funktion, die es gestattet, für jedes a * R die Wahrscheinlichkeit P(X ª a) als Inhalt der von f in ]– • ; a] festgelegten Fläche zu ermitteln. Diese Funktion f heißt Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion oder kurz Dichtefunktion der Zufallsvariablen X. „� Die Funktion F: x ¦ P(X ª x) heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Man sagt: Durch die Dichtefunktion (oder die Verteilungsfunktion) wird eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X beschrieben. 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge 96 97 98 99 100 101 102 103 104 Nagellänge a P(X ª a) = F(a) x f Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv