Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

76 Φ (–z) 1 – Φ (z) z –z 0 x Grundkompetenzen „� Die Normalverteilung kennen und anwenden können. „� Die Dichte- und Verteilungsfunktion normalverteilter Zufallsgrößen kennen. „� Erwartungswert und Standardabweichung normalverteilter Zufallsvariablen ermitteln, deuten und einsetzen können. „� Die Approximation der Binomialverteilung durch eine Normalverteilung kennen und einsetzen können. 5.1 Diskrete und stetige Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen In Mathematik verstehen 7 (Seite 186–189) haben wir diskrete Zufallsvariablen X betrachtet, dh. Variablen, die endlich viele oder abzählbar viele Werte a 1  , a 2  , a 3  , … annehmen können. Letzteres bedeutet, dass man die Werte von X mit Hilfe der natürlichen Zahlen durchnum- merieren kann [discretus, lat. = getrennt]. Dabei kann man folgende Funktionen betrachten: „� Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P ordnet jedem Wert a i der Zufallsvariablen X dessen Wahrscheinlichkeit P(a i ) zu. „� Die Verteilungsfunktion F ordnet jedem Wert a i der Zufallsvariablen X die Wahrscheinlichkeit zu, dass X höchstens den Wert a i annimmt. Definition Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Werten a 1  , a 2  , a 3  , … „� Die Funktion P: a i ¦ P(a i ) heißt Wahrscheinlichkeitsfunktion von X. „� Die Funktion F: a i ¦ P(X ª a i ) heißt Verteilungsfunktion von X. Man sagt: Durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion (oder die Verteilungsfunktion) wird eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X beschrieben. Beachte: P(X ª a i ) = P(a 1 ) + P(a 2 ) + … + P(a i ) = ​ ;  k = 1 ​  i ​P(a k )​ Beide Funktionen können durch Tabellen oder Stabdiagramme dargestellt werden. Beispiel: Anzahl von „Kopf“ bei dreimaligem Münzwurf a i P(a i ) 0 0,5 1 1 2 3 ← a i 0 1 2 3 P(a i ) ​  1 _ 8 ​ ​  3 _ 8 ​ ​  3 _ 8 ​ ​  1 _ 8 ​ a i 0 1 2 3 → F(a i ) ​  1 _ 8 ​ ​  4 _ 8 ​ ​  7 _ 8 ​ ​  8 _ 8 ​ a i F(a i ) 0 0,5 1 1 2 3 5 Die Normalverteilung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv