Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

74 4 Anwendungen in der Wirtschaft Definition Gegeben sei eine Nachfragefunktion x ¦ p(x). Bewirkt eine Änderung des Preises von p 0 auf p 1 = p 0 + Δ p eine Änderung der Nachfrage von x 0 auf x 1 = x 0 + Δ x, dann nennt man den Quotienten ​ _ ε (​p​ 0 ​ ,​p​ 1 ​) = ​   ​  Δ x _  ​x​ 0 ​ ​  _  ​  Δ p _  ​p​ 0 ​ ​ ​= ​  relative Änderung der Nachfrage _____   relative Änderung des Preises ​ die mittlere Preiselastizität der Nachfrage bei Änderung des Preises von p 0 auf p 1  . Im Fall einer differenzierbaren Nachfragefunktion x ¦ p(x) kann für die mittlere Preiselastizität ​ _ ε​  (p, p + Δ p) der Grenzwert für Δ p ¦ 0 ermittelt werden. Weil aus Δ p ¥ 0 stets Δ x ¥ 0 folgt, er- hält man: ​lim     Δ p ¥ 0 ​​ _ ε​  (p, p + Δ p) = ​lim     Δ p ¥ 0 ​​  ​  Δ x _ x  ​ _  ​  Δ p _ p  ​ ​= ​lim     Δ x ¥ 0 ​​  ​  Δ x _ x  ​ _ ​  Δ p _ p  ​ ​= ​lim     Δ x ¥ 0 ​​  ​  p _ x ​ _  ​  Δ p _Δ x ​ ​= ​  ​  p _ x ​ _  p’(x)  ​= ​  p(x) __  x · p’(x)  ​ Dieser Grenzwert erhält einen eigenen Namen: Definition  Die Nachfragefunktion x ¦ p(x) sei differenzierbar. Dann heißt ε (x) = ​  p(x) _  x · p’(x)  ​ die Preiselastizität der Nachfrage zur Nachfragemenge x (falls x ≠ 0 und p’(x) ≠ 0).  Die Nachfrage heißt –  elastisch , wenn †ε (x) † > 1 , –  proportional elastisch , wenn †ε (x) † = 1 , –  unelastisch , wenn †ε (x) † < 1 . 4.31 Bei einem Diskonter gibt x ¦ p(x) mit p(x) = – 0,0075 · x + 1,5 die Nachfragefunktion für Biofrischmilch an. Dabei ist x die Tagesnachfrage in Liter und p(x) der Preis in Euro/Liter. 1) Ermittle die Preiselastizität bei einer Nachfrage von 80 ® ! Interpretiere das Ergebnis! 2) In welchen Bereichen ist die Nachfrage elastisch, proportional elastisch bzw. unelastisch? Lösung: Preiselastizität ε (x) = ​  p(x) _  x·p’(x)  ​= ​  –0,0075 · x + 1,5 ___  x · (–0,0075)  ​= 1 – ​  200 _ x  ​ 1) ε (80) = –1,5 Dies bedeutet: Wird auf dem Preisniveau p(80) = 0,90 der Preis um 1% gesenkt, dann steigt die Nachfrage um ca. 1,5%. Die Nachfrage ist elastisch. 2) Für x * ]0; 200] gilt stets ε (x) ª 0. � Nachfrage elastisch  É  †ε (x) †   > 1  É ε (x) < –1  É  É  x * ]0; 100[ � Nachfrage proportional elastisch  É †ε (x) †   = 1  É  É ε (x) = –1  É  x = 100 � Nachfrage unelastisch  É  †ε (x) †   < 1  É  É  –1 < ε (x) ª 0  É  x * ]100; 200] Bemerkung : Bei x = 200 (Sättigungsmenge) ist die Nachfrage völlig unelastisch. 0 100 200 0,5 1 1,5 ε (x) = –1 ε (x) = 0 ε (x) < –1 –1 < ε (x) < 0 elastisch un- elastisch p(x) (in €/ ®) x (in ®) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv