Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

72 4 Anwendungen in der Wirtschaft 2) Gewinnmaximierung: „� Wir suchen das Maximum der Gewinnfunktion für x * [0; 60]. Mögliche Maximumstellen sind die Stellen mit G’(x) = 0 und die Randstellen x = 0 und x = 60. – G’(x) = 0  É  – 0,06x + 18 = 0  É  x = 30 – G(0) = –150; G(30) = 120; G(60) = –150 „� Den maximalen Gewinn von 120GE erzielt der Betrieb also, wenn er 30 Mengeneinheiten produziert und auch verkauft. Entsprechend der Nachfragefunktion ist das genau dann der Fall, wenn der Preis p(30) = 13GE/ME beträgt. Definition  Die gewinnmaximale Produktionsmenge eines Monopolisten heißt Cournot’sche Menge x c .  Den zugehörigen gewinnmaximalen Produktpreis entsprechend der gegebenen Nachfrage- funktion nennt man Cournot ’ schen Preis p c .  Den Punkt C = (x c 1 p c ) auf dem Graphen der Nachfragefunktion x ¦ p(x) bezeichnet man als Cournot’schen Punkt. Beachte: Die gewinnmaximale Produktionsmenge x c stimmt im Allgemeinen nicht mit der erlösmaximalen Produktionsmenge überein, dh. Gewinnmaximierung und Erlösmaximierung sind unterschiedliche Optimierungsziele. 4.24 (Fortsetzung von 4.23) 1) Gib den Cournot’schen Punkt C des Monopolbetriebes an! 2) Zeige, dass das Erlösmaximum nicht für die Cournot’sche Menge x c angenommen wird! Lösung: 1) x c = 30; p c = 13; Cournot’scher Punkt C = (30 1 13) 2) E’(x) = 0  É  – 0,4x + 19 = 0  É  x = 47,5. Weil stets E’’(x) = – 0,4 < 0 gilt, erhält man für 47,5ME zwar den größten Erlös, wegen 1) aber nicht den größten Gewinn. In der Abbildung von Aufgabe 4.23 fällt auf, dass an der Stelle x c die Tangenten an die Graphen von K und E parallel sind. Es gilt nämlich: Satz Für die Cournot’sche Menge x c eines Monopolisten gilt: Grenzerlös E’(x c ) = Grenzkosten K’(x c ) Beweis: G’(x c ) = 0  É  E’(x c ) – K’(x c ) = 0  É  E’(x c ) = K’(x c )  Aufgaben Grundkompetenzen 4.25 Von einer linearen Nachfragefunktion x ¦ p(x) liegen die angegebenen Informationen vor. Ermittle eine Termdarstellung der Nachfragefunktion und berechne jene Produktionsmenge, bei der der größte Erlös erzielt werden kann! Dabei soll Folgendes gelten: a) Zum Preis von 100GE/ME können 200ME des Produktes verkauft werden, bei 600ME ist der Markt gesättigt. b) Ab einem Preis von 25GE/ME kann das Produkt nicht mehr verkauft werden. Jede Preissenkung um 1GE steigert die Nachfrage um 20ME. 4.26 In der Abbildung ist der Graph einer Nachfragefunktion gezeichnet. Ein Monopolist verkauft sein Produkt zum Preis von 4GE/ME. 1) Wie hoch sind der Höchstpreis und die Sättigungsmenge? 2) Wie hoch sind die Nachfrage und der Erlös beim angegebenen Verkaufspreis? Stelle den Erlös bildlich dar! 0 p(x) (GE/ME) x (in ME) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv