Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

71 4.2 Gewinnmaximierung, Preiselastizität Nebenstehend ist eine Nachfragefunktion dargestellt. „� Nachfragefunktionen sind im Allgemeinen streng monoton fallende Funktionen. Begründe! „� Die Nachfrage x s mit p(x s ) = 0 nennt man Sättigungsmenge . Selbst zum Preis null wird auf dem Markt nicht mehr als die Sättigungs­ menge x s nachgefragt. „� Den Preis p(0) bezeichnet man üblicherweise als Höchstpreis , denn zu diesem Preis wird das Produkt nicht mehr nachgefragt. Auch der Monopolist strebt Gewinnmaximierung an. Für ihn stellt sich daher die Frage: Welche Menge x des Produktes soll erzeugt und angeboten werden, damit nach Verkauf zum Preis p(x) entsprechend der ermittelten Nachfragefunktion ein möglichst großer Gewinn erzielt wird? Erlös und Gewinn sind dabei analog zum Fall der vollständigen Konkurrenz festgelegt: Definition Werden x Mengeneinheiten eines Produktes mit den Produktionskosten K(x) erzeugt und entsprechend der zutreffenden Nachfragefunktion zum Preis p(x) (in GE/ME) verkauft, dann definiert man „� Erlös = Verkaufspreis mal verkaufte Menge E(x) = p(x) · x „� Gewinn = Erlös minus Kosten G(x) = E(x) – K(x) 4.23 Ein Monopolbetrieb produziert x Mengeneinheiten eines Produktes mit den variablen Kosten K v  (x) = 0,1x 2 + x. Bei der Herstellung fallen Fixkosten von 150GE an. Im Planungszeitraum können höchstens 60 Mengeneinheiten erzeugt werden. Aufgrund von Marktanalysen geht man von einer Nachfragefunktion mit p(x) = –0,2x + 19 aus. 1) Wie viele Mengeneinheiten des Produktes muss der Betrieb erzeugen und zu welchem Preis muss er sein Produkt verkaufen, um mit positivem Gewinn zu arbeiten? 2) Für welche Produktionsmenge x und welchen Verkaufspreis p erzielt der Betrieb den größten Gewinn? Lösung: 1) „Break-even-Analyse“: „� Erlös E(x) = p(x) · x = – 0,2x 2 + 19x Kosten K(x) = 0,1x 2 + x + 150 Gewinn  G(x) = E(x) – K(x) =   = – 0,3x 2 + 18x – 150 „� G(x) = 0  É  x = 10  =  x = 50 „� Gewinngrenzen: x 1 = 10 und x 2 = 50 Für Produktionsmengen zwischen 10ME und 50ME ist der Gewinn positiv. Entsprechend der Nachfragefunktion können diese Produktionsmengen nur abgesetzt werden, wenn der Produktpreis zwischen p(10) = 17GE/ME und p(50) = 9GE/ME liegt. 0 p(x) x x s Sättigungs- menge Höchst- preis Ó x7nm65 100 –100 –200 200 300 400 500 600 x C 700 10 30 40 50 60 0 20 K(x), E(x), G(x) (in GE) K E G x (in ME) Gewinnsgrenze x 1 Gewinnsgrenze x 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv