Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

7 x 4 _ x 4 b A. 1. 1.1 Stammfunktionen 1.02 Ermittle eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 ! Ist diese eindeutig bestimmt? Deute das Ergebnis geometrisch! Lösung: Man kann durch Differenzieren überprüfen, dass die folgenden Funktionen die Funktion f als Ableitung haben: F 0 (x) =   x 3 _  3 F 1 (x) =   x 3 _  3 + 1 F 2 (x) =   x 3 _  3 + 2 F 3 (x) =   x 3 _  3 + 3 usw. Allgemein hat jede Funktion der folgenden Form die Funktion f als Ableitung: F(x) =   x 3 _  3 + c mit c * R Man kann dies folgendermaßen geometrisch interpretieren: Die Graphen dieser Funktionen gehen durch Verschiebungen in Richtung der 2. Achse auseinan- der hervor (siehe nebenstehende Abbildung). Sie haben somit an jeder Stelle x die gleiche Steigung. Also stimmen auch ihre Ableitungen an jeder Stelle x miteinander überein. Allgemein gilt: Ist F 0 eine Stammfunktion von f, dann ist auch jede Funktion F mit F(x) = F 0 (x) + c eine Stammfunktion von f, denn es ist F’(x) = F 0 ’(x) = f(x). Aber sind alle Stamm- funktionen von f von dieser Form? Um diese Frage zu beantworten, beweisen wir zuerst den folgenden Satz: Satz Ist I ein Intervall und f’(x) = 0 für alle x * I, dann ist f konstant in I . Beweis: Ist f’(x) = 0 für alle x * I, dann gilt sowohl f’(x) º 0 als auch f’(x) ª 0 für alle x * I. Somit ist f in I sowohl monoton steigend als auch monoton fallend. Das ist nur möglich, wenn f in I konstant ist.  Nun können wir zeigen: Satz Ist die reelle Funktion f auf einem Intervall definiert und F 0 eine Stammfunktion von f, dann sind alle Stammfunktionen F von f von der Form F(x) = F 0 (x) + c mit c * R . Beweis: Sei F eine beliebige Stammfunktion von f. Wir betrachten die Funktion G mit G(x) = F(x) – F 0 (x). Wegen G’(x) = F’(x) – F 0 ’(x) = f(x) – f(x) = 0 gilt nach dem letzten Satz: G(x) = F(x) – F 0 (x) = c für alle x * I und somit F(x) = F 0 (x) + c für alle x * I.  Bemerkung: Die Voraussetzung, dass f auf einem Intervall definiert ist, ist hier wesentlich. Wenn der Definitionsbereich kein Intervall ist, können außer den Funktionen F 0 + c weitere Stammfunktionen von f existieren (siehe Aufgabe 1.16). 1 2 3 4 –1 –2 –3 –4 –1 –2 –3 –4 1 2 3 4 0 F(x) x F 3 F 2 F 1 F 0 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv