Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

68 100 –100 –200 200 x max x opt 2 6 8 10 0 4 Verl Verlustzone Gewinnzone G(x) > 0 untere Gewinngrenze x 1 obere Gewinngren 4.2 Gewinnmaximierung, Preiselastizität Gewinnmaximierung bei vollständiger Konkurrenz Gibt es für ein Produkt sehr viele unabhängige, gleichwertige Anbieter, dann hat der einzelne Anbieter aufgrund seines geringen Marktanteils keinen Einfluss auf den Produktpreis, der sich global durch das Gleichgewicht von Angebot und Nachfrage bildet. Der Anbieter kann also sein Produkt nur zu einem vorgegebenen Marktpreis p (aber in beliebiger Menge) absetzen. Eine solche Marktstruktur nennt man vollständige Konkurrenz . Dabei stellt sich die Frage: Welche Menge x des Produktes soll erzeugt und angeboten werden, damit nach Verkauf zum vorgegebenem Marktpreis p ein möglichst großer Gewinn erzielt wird? Wir erinnern uns zunächst, wie die Begriffe Erlös und Gewinn erklärt sind: Definition Werden x Mengeneinheiten eines Produktes zu den Produktionskosten K(x) erzeugt und zum Preis p (in GE/ME) verkauft, dann definiert man „� Erlös (Ertrag, Umsatz) = Verkaufspreis mal verkaufte Menge E(x) = p · x „� Gewinn = Erlös minus Kosten G(x) = E(x) – K(x) 4.17 Die Funktion K mit K(x) = x 3 – 12x 2 + 60x + 100 für x * [0; 12] beschreibt näherungsweise die Produktionskosten eines Betriebes. Wegen vollständiger Konkurrenz muss das Produkt zum festen Preis p = 53GE/ME auf dem Markt angeboten werden. 1) Für welche Produktionsmengen x erzielt der Betrieb einen (positiven) Gewinn? 2) Für welche Produktionsmenge x ist der Gewinn maximal? Lösung: 1) Ermitteln des Gewinnbereichs: „� Erlös E(x) = p · x = 53 · x Kosten K(x) = x 3 – 12x 2 + 60x + 100 Gewinn G(x) = E(x) – K(x) = = – x 3 + 12x 2 – 7x – 100 „� Wir ermittlen die Stellen mit dem Gewinn 0: G(x) = 0  É  – x 3 + 12x 2 – 7x – 100 = 0 x = 4  =  x ≈ 10,4  =  x ≈ –2,4 + [0; 12] (Computer!) Für die Produktionsmengen ​x​ 1 ​= 4 und ​ x​ 2 ​≈ 10,4 ist der Gewinn null, dh. der Betrieb arbeitet gerade kostendeckend. „� An der Abbildung sieht man: Der Betrieb erzielt zwischen den Gewinn­ grenzen x 1 und x 2 einen (positiven) Gewinn. Bei allen anderen Produktions­ mengen arbeitet er mit Verlust. 2) Gewinnmaximierung: „� Wir suchen das Maximum der Gewinnfunktion G für x * [0; 12]. Mögliche Maximum stellen sind die Stellen mit G’(x) = 0 und die Randstellen x = 0 und x = 12. G’(x) = 0  É  – 3x 2 + 24x – 7 = 0  É  x ≈ 0,3  =  x ≈ 7,7 G(0) = –100; G(0,3) ≈ –101; G(7,7) ≈ 101; G(12) ≈ –184 „� Der Vergleich der Gewinnwerte ergibt: Den maximalen Gewinn von ungefähr 101GE erzielt der Betrieb dann, wenn er ca. 7,7ME produziert und zum Marktpreis verkauft. Ó xw42rj 100 –100 –200 200 300 400 500 600 x max x opt 700 2 6 8 10 12 0 4 K(x) E(x) G(x) K E G x BEP 1 BEP 2 Verlustzone Verlustzone Gewinnzone G(x) > 0 untere Gewinngrenze x 1 obere Gewinngrenze x 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv