Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

66 4 Anwendungen in der Wirtschaft Kostengünstigste Produktion – Betriebsoptimum 4.10 Für die Produktion eines Betriebes wurde näherungsweise die Kostenfunktion K mit K(x) = x 3 – 12x 2 + 60x + 100 ermittelt. Aus Kapazitätsgründen muss die Produktionsmenge x im Bereich von 0 bis 10ME liegen. 1) Zeichne die Graphen der Kostenfunktion K und der Grenzkostenfunktion K’ in ein und dasselbe Koordinatensystem! 2) Bei welcher Produktionsmenge arbeitet der Betrieb am „rentabelsten“, dh. am kosten günstigsten? Lösung: 1) Graphen von K und K ’: K(x) = x 3 – 12x 2 + 60x + 100 K’(x) = 3x 2 – 24x + 60 Die Graphen von K und K’ sind nebenstehend dargestellt. 2) Ermittlung der kostengünstigsten Produktionsmenge: � Dem Graphen von K entnimmt man: Die Kosten K sind am geringsten, wenn gar nichts produziert wird, also für x = 0. Das ist hier aber sicher nicht gemeint. Vielmehr wird dann am „kosten günstigsten“ produziert, wenn die Kosten pro produzierter Mengeneinheit , die so genannten Stückkosten , minimal sind. � Bei Produktion von x ME erhält man die Stückkosten _ K (x), indem man die Produktionskosten K(x) durch x dividiert, also: _ K (x) =   K(x) _  x  = x 2 – 12x + 60 +   100 _ x  für x * ]0; 10] Der Graph von _ Kist ebenfalls in der Abbildung dargestellt. � Wir suchen jetzt das Minimum der Stückkostenfunktion _ Kfür x * ]0; 10]. Mögliche Minimumstellen sind die Stellen mit _ K’(x) = 0 und die Randstelle x = 10. – _ K’(x) = 0 É 2x – 12 –   100 _ x 2 = 0 É x 3 – 6x 2 – 50 = 0 É x ≈ 7 (Computer!) – _ K (7,0) ≈ 39,29 < _ K (10) = 50 � Daraus ergibt sich: Mit den geringsten Stückkosten von ungefähr 39,29GE/ME arbeitet der Betrieb dann, wenn er ca. 7ME produziert. Die Produktionsmenge mit den geringsten Stückkosten erhält einen eigenen Namen. Definition Sei K: x ¦ K(x) mit x * A eine Kostenfunktion, wobei A a R 0   + ein Intervall ist. � Die Funktion _ Kmit _ K (x) =   K(x) _ x  (x ≠ 0) heißt Stückkostenfunktion zur Kostenfunktion K. � Die Produktionsmenge x opt * A , für die die Stückkostenfunktion _ Kminimal ist, heißt Betriebsoptimum zur Kostenfunktion K. Die Abbildung lässt vermuten, dass sich die Graphen von _ Kund K’ bei x opt schneiden. Ó 100 200 300 400 500 2 4 6 8 10 12 14 600 700 0 x x opt K(x) K’(x) K(x) K’ K K _ _ Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv