Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

60 Isaac NEWTON (1643 –1727) Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) Augustin Louis CAUCHY (1789 –1857) Bernhard RIEMANN (1826 –1866) 3 Ergänzungen zur Integralrechnung Obwohl man mit der Indivisibilienmethode viele richtige Resultate gefunden hatte, wurde diese Methode vielfach kritisiert, weil sie auch zu Feh- lern führen kann. Das folgende Beispiel soll dies illustrieren: Beispiel: Wir denken uns die Dreiecke ADC und DBC aus Strecken zusammengesetzt. Zu jeder Strecke XX’ im Dreieck ADC kann man eine gleich lange Stre- cke YY’ im Dreieck DBC finden und umgekehrt. Somit müsste der Flächeninhalt des Dreiecks ADC gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks DBC sein. Das ist aber offensichtlich falsch. Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung Die beiden Hauptsätze wurden, nach Vorarbeiten von Isaac BARROW (1630 –1677), im Jahr 1676 von James GREGORY publiziert. Damit war ein Zusam- menhang zwischen der Differential- und Integral- rechnung hergestellt und es wurden neue Mög- lichkeiten zur Berechnung von Flächeninhalten, Volumina usw. mit Hilfe von Stammfunktionen gefunden. Diese Entwicklung wurde vor allem von Isaac NEWTON (1643 –1727), einem Schüler von BARROW, und Gottfried Wilhelm LEIBNIZ (1646 –1716) vorangetrieben. Exaktifizierung der Integralrechnung Nach Newton und Leibniz setzte eine stürmische Entwicklung der Differential- und Integralrech- nung ein, die zu einer Fülle von neuen Ergebnis- sen, Methoden und Begriffen führte. Das Integral wurde dabei nach dem Muster von Leibniz als „unendliche Summe von unendlich kleinen Grö- ßen“ aufgefasst. Obwohl eine genauere Defini- tion dieses Begriffes fehlte, wurden viele bahn- brechende Resultate gefunden, vor allem in der Physik und Astronomie. Erst im 19. Jahrhundert begann man den Integralbegriff exakter zu fas- sen und damit die Verwendung unendlich kleiner Größen zu vermeiden. Vor allem Augustin Louis CAUCHY (1789 – 1857) und Bernhard RIEMANN (1826 –1866) haben dazu beigetragen. Gegen Ende des 19. Jahrhunderts und im 20. Jahr- hundert wurde der Integralbegriff mehrfach ver- allgemeinert, wobei zum Teil sehr abstrakte Inte- gralbegriffe gebildet wurden. Auch heute kommt es auf dem Gebiet der Integralrechnung noch zu Neuerungen. A D C B X Y X’ Y’ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv