Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

57 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 1 P 2 n Δ s i Δ y i Δ x x _ 3.4 Partielle Integration Satz Partielle Integration Sei f stetig, F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar mit stetiger Ableitung. Dann gilt: :  a   b f(x) · g(x) dx= F(x) · g(x )  1 a   b – :  a   b F(x) · g’(x) dx Beweis: Wir berechnen die Ableitung der Funktion F · g: (F · g)’ = F’ · g + F · g’ = f · g + F · g’ Die Funktion F · g ist also eine Stammfunktion der Funktion f · g + F · g’. Damit erhalten wir :  a   b (f · g + F · g’)(x) dx= (F · g)(x )  1 a   b w :  a   b f(x) · g(x) dx+ :  a   b F(x) · g’(x) dx= F(x) · g(x )  1 a   b w w :  a   b f(x) · g(x) dx= F(x) · g(x )  1 a   b – :  a   b F(x) · g’(x) dx  Beispiel 1: :  1   e x · lnx dx=   x 2 _  2 · ln x  1 1   e – :  1   e x 2 _  2 ·   1 _ x dx=   x 2 _  2 · ln x  1 1   e –   1 _ 2 · :  1   e x dx= 4    x 2 _  2 · lnx  5   1 1   e – 4    1 _ 2 ·   x 2 _  2   5   1 1   e = =   e 2 _ 2  – 2    e 2 _  4  –   1 _ 4   3 =   e 2 _ 4  +   1 _  4 =   1 _ 4 · (e 2 + 1) Beispiel 2: :  0     π  _  2 x · sin x dx= :  0     π  _  2 sin x · x dx= (– cos x) · x  1 0     π  _ 2 – :  0     π  _ 2 (– cos x) · 1 dx= = – x · cos x  1 0     π  _ 2 – (– sin x )  1 0     π  _ 2 = 0 + 1 = 1 Beispiel 3: Das folgende Integral haben wir auf Seite 54 mit Hilfe einer trigonometrischen Formel berechnet. Wir berechnen es jetzt mit partieller Integration. :  0     π  _ 2 cos 2 t dt= :  0     π  _ 2 cos t · cos t dt= sin t · cos t  1 0     π  _  2 – :  0     π  _ 2 sin t · (– sin t) dt= :  0     π  _ 2 sin 2 t dt= :  0     π  _ 2 (1 – cos 2 t) dt= = :  0     π  _ 2 1 dt– :  0     π  _ 2 cos 2 t dt= t  1 0     π  _  2 – :  0     π  _  2 cos 2 t dt=   π  _ 2 – :  0     π  _ 2 cos 2 t dt w 2 · :  0     π  _ 2 cos 2 t dt=   π  _ 2 w :  0     π  _ 2 cos 2 t dt=   π  _ 4 Aufgaben Vertiefung 3.18 Berechne: a) :  1   e x 2 · ln x dx b) :  0   1 x · e x dx c) :  1   e lnx _ x  dx d) :  0   π x · cos xdx e) :  0     π  _ 2 sin 2 t dt 3.19 Der Graph der Funktion f schließt im angegebenen Bereich mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechne dessen Inhalt! a) f(x) = (x + 1) · e –x (– 1 ª x ª 0) b) f(x) = (x – 1) · e –x (0 ª x ª 1) 12345 f 1223245 g 12345 g 122232245 f 122232245 g 122232245 f Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv