Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch
57 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 1 P 2 n Δ s i Δ y i Δ x x _ 3.4 Partielle Integration Satz Partielle Integration Sei f stetig, F eine Stammfunktion von f und g differenzierbar mit stetiger Ableitung. Dann gilt: : a b f(x) · g(x) dx= F(x) · g(x ) 1 a b – : a b F(x) · g’(x) dx Beweis: Wir berechnen die Ableitung der Funktion F · g: (F · g)’ = F’ · g + F · g’ = f · g + F · g’ Die Funktion F · g ist also eine Stammfunktion der Funktion f · g + F · g’. Damit erhalten wir : a b (f · g + F · g’)(x) dx= (F · g)(x ) 1 a b w : a b f(x) · g(x) dx+ : a b F(x) · g’(x) dx= F(x) · g(x ) 1 a b w w : a b f(x) · g(x) dx= F(x) · g(x ) 1 a b – : a b F(x) · g’(x) dx Beispiel 1: : 1 e x · lnx dx= x 2 _ 2 · ln x 1 1 e – : 1 e x 2 _ 2 · 1 _ x dx= x 2 _ 2 · ln x 1 1 e – 1 _ 2 · : 1 e x dx= 4 x 2 _ 2 · lnx 5 1 1 e – 4 1 _ 2 · x 2 _ 2 5 1 1 e = = e 2 _ 2 – 2 e 2 _ 4 – 1 _ 4 3 = e 2 _ 4 + 1 _ 4 = 1 _ 4 · (e 2 + 1) Beispiel 2: : 0 π _ 2 x · sin x dx= : 0 π _ 2 sin x · x dx= (– cos x) · x 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 (– cos x) · 1 dx= = – x · cos x 1 0 π _ 2 – (– sin x ) 1 0 π _ 2 = 0 + 1 = 1 Beispiel 3: Das folgende Integral haben wir auf Seite 54 mit Hilfe einer trigonometrischen Formel berechnet. Wir berechnen es jetzt mit partieller Integration. : 0 π _ 2 cos 2 t dt= : 0 π _ 2 cos t · cos t dt= sin t · cos t 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 sin t · (– sin t) dt= : 0 π _ 2 sin 2 t dt= : 0 π _ 2 (1 – cos 2 t) dt= = : 0 π _ 2 1 dt– : 0 π _ 2 cos 2 t dt= t 1 0 π _ 2 – : 0 π _ 2 cos 2 t dt= π _ 2 – : 0 π _ 2 cos 2 t dt w 2 · : 0 π _ 2 cos 2 t dt= π _ 2 w : 0 π _ 2 cos 2 t dt= π _ 4 Aufgaben Vertiefung 3.18 Berechne: a) : 1 e x 2 · ln x dx b) : 0 1 x · e x dx c) : 1 e lnx _ x dx d) : 0 π x · cos xdx e) : 0 π _ 2 sin 2 t dt 3.19 Der Graph der Funktion f schließt im angegebenen Bereich mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechne dessen Inhalt! a) f(x) = (x + 1) · e –x (– 1 ª x ª 0) b) f(x) = (x – 1) · e –x (0 ª x ª 1) 12345 f 1223245 g 12345 g 122232245 f 122232245 g 122232245 f Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv
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