Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

56 3 Ergänzungen zur Integralrechnung Mit Hilfe dieser Formel können wir die in der Unterstufe nur intuitiv begründete Formel für den Umfang eines Kreises exakter herleiten. Satz Umfang eines Kreises Für den Umfang u eines Kreises mit dem Radius r gilt: u = 2r π Beweis: Wir leiten zunächst eine Formel für die Bogenlänge b des nebenstehend abgebildeten Achtelkreises her. � Nach dem obigen Satz gilt: b = :  0     r _ 2 9 _ 2 9 ______ 1 + [f’(x)] 2  dx Den Integranden erhalten wir aus der Kreisgleichung: x 2 + y 2 = r 2 w y = f(x) = 9 ____ r 2 – x 2 w f’(x) =   –x _  9 ____ r 2 – x 2   w w 9 ______ 1 + [f’(x)] 2 = 9 _____ 1 +   x 2 _  r 2 – x 2 =   r _  9 ____ r 2 – x 2   Damit ergibt sich: b = :  0     r _ 2 9 _ 2 9 ______ 1 + [f’(x)] 2 dx= :  0     r _ 2 9 _ 2 r _  9 ____ r 2 – x 2 dx= r · :  0     r _  2 9 _ 2 1 _  9 ____ r 2 – x 2   dx � Zur Berechnung dieses Integrals substituieren wir: x = r · cos t 2    π  _ 4 ª t ª   π  _ 2   3 � Neue Grenzen: x = 0 w t =   π  _ 2 , x =   r _ 2 9 _ 2 w t =   π  _ 4 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: b = r · :    π  _ 2     π  _ 4 1 __  9 ___ ___ r 2 – r 2 · cos 2 t ·   dx _ dt dt= – r · :    π  _ 4     π  _ 2 1 __  r · 9 _ ___ 1 – cos 2 t · (– r · sin t) dt= r · :    π  _ 4     π  _ 2 sint _ sint dt= r · :    π  _ 4     π  _ 2 1 dt= = r · t  1   π  _  4     π  _  2 =   r · π  _ 4  � Daraus folgt: u = 8b = 8 ·   r · π  _ 4  = 2r π  Aufgaben Vertiefung 3.14 Berechne die Länge des Graphen der Funktion f zwischen x 1 und x 2 ! a) f(x) =   1 _ 6 (2x + 1) 9 ___ 2x + 1, x 1 = 2, x 2 = 10 c) f(x) = (x + 1)   3 _ 2 , x 1 = 0, x 2 = 3 b) f(x) =   2 _ 3 (x – 1) 9 ___ x – 1, x 1 = 1, x 2 = 4 d) f(x) =   1 _ 4 (x 2 – 2 · lnx), x 1 = 1, x 2 = e 3.15 Berechne die Länge des Kurvenbogens (Graph von f) über den angegebenen Intervallen! a) f(x) =   1 _ 3 x 9 _ x , [0; 21], [0; 60], [5; 32] b) f(x) =   1 _  9 _ 6 x 9 _ x , [0; 14], [0; 40], [8; 30] 3.16 Berechne Umfang und Inhalt des Flächenstückes, das von der Funktion f im gegebenen Intervall festgelegt wird! a) f(x) =   x 3 _ 96 +   8 _ x +   1 _ 3 , [4; 12] b) f(x) =   x 3 _ 24 +   2 _ x –   1 _ 3 , [2; 6] c) f(x) =   x 3 _ 48 +   4 _ x –   1 _ 6 , [2; 8] 3.17 Eine Kette wird wie in nebenstehender Abbildung in den Punkten P und Q aufgehängt. Die Form der Kette entspricht dem Graphen der Funktion f mit f(x) =   a _ 2 2  e   x _ a + e –  x _ a   3 im Intervall [–b; b] („Kettenlinie“). Berechne die Länge der Kette! t x 2 r b 0 y r π –4 r–2 Ó –b b a 0 P Q y x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv