Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

55 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 1 P 2 n Δ s i Δ y i Δ x x _ 3.3 Kurvenlängen Sei f eine in [a; b] differenzierbare (und somit stetige) Funktion mit stetiger Ableitung. Wie kann man die Länge des Graphen von f im Intervall [a; b] berechnen? Wir zerlegen das Intervall [a; b] in n Teilintervalle der Länge Δ x. Verbindet man die dazuge- hörigen Punkte P 0 , P 1 , …, P n auf dem Graphen von f durch Strecken, erhält man einen Poly- gonzug (Sehnenzug), dessen Länge eine Näherung für die gesuchte Kurvenlänge darstellt. Bezeichnen wir die Länge der Sehne im Intervall [x i – 1 ; x i ] mit Δ s i und setzen Δ y i = f(x i ) – f(x i – 1 ), dann gilt: Δ s i = 9 _____ Δ x 2 + Δ y i   2 Wie man an der Abbildung sieht, gibt es in jedem Intervall [x i – 1 ; x i ] eine innere Stelle _ x i , an der die Tangentensteigung gleich der Sekantensteigung ist (dies kann mit dem Mittelwertsatz der Differential- und Integralrechnung genauer begründet werden), dh.: f’( _ x i ) =   Δ y i _ Δ x bzw. Δ y i = f’( _ x i ) · Δ x Setzen wir dies in die obige Formel für Δ s i ein, erhalten wir: Δ s i = 9 __________ Δ x 2 + [f’( _ x i )] 2 · Δ x 2  = 9 ______ 1 + [f’( _ x i )] 2 · Δ x Für die Länge s des Graphen von f im Intervall [a; b] gilt somit: s ≈ ;  i = 1   n Δ s i = ;  i = 1   n 9 ______ 1 + [f’( _ x i )] 2  · Δ x Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Für Δ x ¥ 0 ergibt sich: s = :  a   b 9 ______ 1 + [f’(x)] 2 dx (Man kann zeigen, dass die Funktion x ¦ 9 ______ 1 + [f’(x)] 2 als Verkettung stetiger Funktionen selbst stetig in [a; b] ist.) Wir haben somit auf anschauliche Weise begründet: Satz Sei f differenzierbar und f’ stetig in [a; b]. Dann gilt für die Länge s des Graphen von f im Intervall [a; b]: s = :  a   b 9 ______ 1 + [f’(x)] 2 dx f 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 0 P 1 P 2 P n P n – 1 Δ s i Δ y i Δ x x _ f(x) x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv