Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

54 3 Ergänzungen zur Integralrechnung Mit Hilfe der Substitutionsregel können wir die in der Unterstufe nur intuitiv begründete Formel für den Flächeninhalt eines Kreises exakter herleiten. Satz Flächeninhalt eines Kreises Für den Flächeninhalt A eines Kreises mit dem Radius r gilt: A = r 2 π Beweis: Wir leiten zunächst eine Formel für den Flächeninhalt _ Ades nebenstehend abgebildeten Viertelkreises her. � Aus der Kreisgleichung x 2 + y 2 = r 2 ergibt sich y = f(x) = 9 ____ r 2 – x 2 . Somit ist: _ A= :  0   r 9 ____ r 2 – x 2 dx � Um dieses Integral zu berechnen, substituieren wir: x = r · cos t 2 0 ª t ª   π  _ 2   3 � Neue Grenzen: x = 0 w t =   π  _ 2 , x = r w t = 0 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: _ A= :  0   r 9 ____ r 2 – x 2 dx = :    π  _ 2   0 9 _______ r 2 – r 2 · cos 2 t·   dx _ dt dt = – :  0     π  _ 2 9 _______ r 2 – r 2 · cos 2 t· (– r · sin t) dt = = r 2 · :  0     π  _ 2 9 _____ 1 – cos 2 t· sin t dt = r 2 · :  0     π  _ 2 sin 2 tdt � Zur Berechnung dieses Integrals verwenden wir die Formel sin 2 t =   1 – cos(2t) __ 2  (Nachweis in Aufgabe 3.13). Damit erhalten wir: _ A= r 2 · :  0     π  _ 2   1 – cos(2t) __ 2  dt =   r 2 _ 2 · :  0     π  _ 2 [1 – cos(2t)] dt =   r 2 _ 2 · 4  t –   1 _ 2 · sin(2t)  5   1 0     π  _ 2 =   r 2 _ 2  · 2    π  _ 2 – 0  3 =   r 2 π  _ 4  � Daraus folgt: A = 4 · _ A= r 2 π  Aufgaben Vertiefung 3.10 Berechne: a) :  0   1 5 _  2 + 3x dx ( Hinweis: Setze 2 + 3x = t!) b) :  0   1 1 _  (x – 2) 2 dx ( Hinweis: Setze x – 2 = t!) 3.11 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) :  0   4 9 ____ 3x + 4dx b) :  0   a 9 ____ ax + bdx (a, b > 0) c) :  0   a 3 9 ___ 2x + 1dx (a > 0) 3.12 Berechne durch eine geeignete Substitution: a) :  0   1 e 5x + 1 dx b) :  0   1 3 · 2 x – 2 dx c) :    π  _ 2     3 π  _ 4  sin 2 2x –   π  _ 2   3 dx d) :  a   b cos   x + 1 _ 2  dx 3.13 Beweise die Formel sin 2 t =   1 – cos (2t) __ 2  mit Hilfe des ersten Additionstheorems cos(x + y) = cos x · cos y – sin x · sin y! ( Hinweis: Setze x = y = t!) t x r f 0 r y r Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv