Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch
53 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 1 P 2 n Δ s i Δ y i Δ x x _ 3.2 Integralberechnung durch Substitution Die Formel : a b f(x) dx = F(b) – F(a)ist nur anwendbar, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. Wenn dies nicht der Fall ist, kann man ein Integral manchmal berechnen, wenn man eine Substitution x = g(t) mit einer geeigneten Funktion g durchführt. Wir setzen f als stetig und g als differenzierbar voraus und approximieren das Integral durch Summen: : a b f(x) dx ≈ ; f(x) · Δ x = ; f(x) · Δ x _Δ t · Δ t = ; f (x) · Δ g(t) _Δ t · Δ t Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ t ist. Für Δ t ¥ 0 geht (wegen der Stetigkeit von g) auch Δ g(t) ¥ 0 und der Differenzenquotient Δ g(t) _Δ t geht über in den Differentialquotienten dg(t) _ dt = g’(t). Wir erhalten also für Δ t ¥ 0: : a b f(x) dx = : c d f(g(t)) · g’(t) dt Die neuen Integralgrenzen c und d erhält man aus den Gleichungen a = g(c) und b = g(d). Wir halten fest: Satz Substitutionsregel Sei f stetig, g differenzierbar mit stetiger Ableitung und x = g(t). Dann gilt: : a b f(x) dx= : c d f(g(t)) · g’(t) dt = : c d f(g(t)) · dx _ dt dt , wobei a = g(c) und b = g(d) 3.09 Berechne: a) : 0 1 1 _ 4x + 3 dx b) : 0 3 9 ___ x + 1dx Lösung: a) � Es liegt nahe, 4x + 3 = t zu setzen, dh. folgende Substitution durchzuführen: x = t – 3 _ 4 � Neue Grenzen: x = 0 w t = 3, x = 1 w t = 7 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: : 0 1 1 _ 4x + 3 dx= : 3 7 1 _ t · dx _ dt dt = : 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = 1 _ 4 · : 3 7 1 _ t dt = 1 _ 4 · ln t 1 3 7 = 1 _ 4 · (ln 7 – ln 3) ≈ 0,212 b) � Substitution: 9 ___ x + 1= t, dh. x = t 2 – 1 � Neue Grenzen: x = 0 w t = 1, x = 3 w t = 2 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: : 0 3 9 ___ x + 1dx= : 1 2 t · dx _ dt dt= : 1 2 t · 2t dt= 2 · : 1 2 t 2 dt= 2 _ 3 · t 3 1 1 2 = 14 _ 3 Bemerkung: In der Praxis geht man oft weniger exakt vor. ZB rechnet man in Aufgabe 3.09a): x = t – 3 _ 4 w dx _ dt = 1 _ 4 w dx = 1 _ 4 dt w : 0 1 1 _ 4x + 3 dx= : 3 7 1 _ t · 1 _ 4 dt = … Obwohl es eigentlich nicht erlaubt ist, dx _ dt als Bruch aufzufassen, führt dieses Vorgehen hier zum richtigen Ergebnis. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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