Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

53 0 a = x 0 x 1 x 2 x i i x i – 1 x n – 1 x n = b P 1 P 2 n Δ s i Δ y i Δ x x _ 3.2 Integralberechnung durch Substitution Die Formel :  a   b f(x) dx = F(b) – F(a)ist nur anwendbar, wenn man eine Stammfunktion F von f kennt. Wenn dies nicht der Fall ist, kann man ein Integral manchmal berechnen, wenn man eine Substitution x = g(t) mit einer geeigneten Funktion g durchführt. Wir setzen f als stetig und g als differenzierbar voraus und approximieren das Integral durch Summen: :  a   b f(x) dx ≈ ;    f(x) · Δ x = ;    f(x) ·   Δ x _Δ t · Δ t = ;    f (x) ·   Δ g(t) _Δ t  · Δ t Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ t ist. Für Δ t ¥ 0 geht (wegen der Stetigkeit von g) auch Δ g(t) ¥ 0 und der Differenzenquotient   Δ g(t) _Δ t  geht über in den Differentialquotienten   dg(t) _ dt  = g’(t). Wir erhalten also für Δ t ¥ 0: :  a   b f(x) dx = :  c   d f(g(t)) · g’(t) dt Die neuen Integralgrenzen c und d erhält man aus den Gleichungen a = g(c) und b = g(d). Wir halten fest: Satz Substitutionsregel Sei f stetig, g differenzierbar mit stetiger Ableitung und x = g(t). Dann gilt: :  a   b f(x) dx= :  c   d f(g(t)) · g’(t) dt = :  c   d f(g(t)) ·   dx _ dt dt , wobei a = g(c) und b = g(d) 3.09 Berechne: a) :  0   1   1 _  4x + 3  dx b) :  0   3 9 ___ x + 1dx Lösung: a) � Es liegt nahe, 4x + 3 = t zu setzen, dh. folgende Substitution durchzuführen: x =   t – 3 _ 4  � Neue Grenzen: x = 0 w t = 3, x = 1 w t = 7 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: :  0   1 1 _  4x + 3  dx= :  3   7   1 _ t ·   dx _ dt dt = :  3   7 1 _ t ·   1 _ 4 dt =   1 _ 4 · :  3   7   1 _ t dt =   1 _ 4 · ln t  1 3   7 =   1 _ 4 · (ln 7 – ln 3) ≈ 0,212 b) � Substitution: 9 ___ x + 1= t, dh. x = t 2 – 1 � Neue Grenzen: x = 0 w t = 1, x = 3 w t = 2 � Nach der Substitutionsregel ergibt sich: :  0   3 9 ___ x + 1dx= :  1   2 t ·   dx _ dt dt= :  1   2 t · 2t dt= 2 · :  1   2 t 2 dt=   2 _ 3 · t 3 1 1   2 =   14 _ 3  Bemerkung: In der Praxis geht man oft weniger exakt vor. ZB rechnet man in Aufgabe 3.09a): x =   t – 3 _ 4  w   dx _ dt =   1 _ 4 w dx =   1 _  4 dt w :  0   1 1 _  4x + 3 dx= :  3   7   1 _ t ·   1 _ 4 dt = … Obwohl es eigentlich nicht erlaubt ist,   dx _ dt als Bruch aufzufassen, führt dieses Vorgehen hier zum richtigen Ergebnis. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv