Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

52 3 Ergänzungen zur Integralrechnung Das unbestimmte Integral Definition Unbestimmtes Integral Ist F eine beliebige Stammfunktion von f, so setzt man: :    f= :    f (x) dx= F(x) + c (mit c * R ) Man bezeichnet das Symbol :    fbzw. :    f(x) dxals unbestimmtes Integral von f , weil keine Grenzen angegeben sind. Im Gegensatz dazu wird ein Integral mit vorgegebenen Grenzen als bestimmtes Integral bezeichnet. Die Bildung des unbestimmten Integrals bezeichnet man wie beim be- stimmten Integral als Integrieren . Da die Konstante c eine beliebige reelle Zahl ist, ist das Symbol für das unbestimmte Integral nicht eindeutig. Es legt keine eindeutig bestimmte Funktion fest, sondern eine Menge von Funktionen (eine „ Funktionenschar “). Das unbestimmte Integral wird oft benutzt, um Stammfunktionen anzugeben. Beispiele: :    x 3 dx =   x 4 _  4 + c, :    sin x = – cos x + c, :    e x dx = e x + c Zusammenhang zwischen Differenzieren und Integrieren Sofern die auftretenden Ableitungen und Integrale gebildet werden können, gilt: � 2  :    f(x) dx  3 ’ = (F(x) + c)’ = F’(x) + 0 = f(x) Daraus erkennt man: Wird zuerst integriert und dann das Ergebnis differenziert, ergibt sich die ursprüngliche Funktion. Kurz: Differenzieren ist die Umkehrung des Integrierens. � :    f’(x) dx = f(x) + c(da f eine Stammfunktion von f’ ist) Daraus erkennt man: Wird zuerst differenziert und dann das Ergebnis integriert, ergibt sich die ursprüngliche Funktion (bis auf eine additive Konstante c). Kurz: Integrieren ist die Umkehrung des Differenzierens (bis auf eine additive Konstante). Aufgaben Grundkompetenzen 3.06 Berechne das unbestimmte Integral: a) :    (x 3 – x + 1) dx c) :    9 _ xdx e) :    1 _  x 3 dx g) :    (x –3 ) 2 dx b) :    (x – 1) 2 dx d) :    sin( ω t) dt f) :    3 9 __ x 2 dx h) :    2 · cos(2x) dx 3.07 Berechne: a) :    (au 2 + b) du, (a, b * R ) b) :    (au 2 + b) da, (u, b * R ) c) :    (au 2 + b) db, (u, a * R ) 3.08 Bilde das unbestimmte Integral von f! Differenziere das Ergebnis und zeige, dass sich die ursprüngliche Funktion f ergibt! a) f(x) = 3x c) f(x) = x 2 – x + 1 e) f(x) = – x 3 + 1 g) f(x) =   3 _ x b) f(x) = 2x + 1 d) f(x) = 2 f) f(x) = – 5 9 _ x– 2 h) f(x) = x + 2 x Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv