Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

51 3.1 Die Hauptsätze der Integralrechnung Die Integralfunktion Definition Die reelle Funktion f sei im Intervall M stetig und es sei a * M. Unter der Integralfunktion von f bezüglich a versteht man die Funktion ​ I​ a ​: M ¥ R ‡ x ¦ ​ :  a ​  x ​ f​ Falls f keine negativen Werte annimmt, kann die Integralfunktion ​I​ a ​ für x > a wie in nebenstehender Abbildung als Flächeninhalt A(a, x) gedeutet werden. Sie ist aber auch für x < a definiert. Aufgaben Grundkompetenzen 3.05 Die reelle Funktion f sei stetig in [a; b] und es sei f(x) > 0 für alle x * [a; b]. Betrachte die Integralfunktion: I a : [a; b] ¥ R ‡ x ¦ ​ :  a ​  x ​ f​ Erläutere durch anschauliche Argumente an einer Skizze, warum folgende Aussagen für I a gelten müssen: 1) I a ist stetig. 2) I a ist streng monoton steigend in [a; b]. Die Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung Den ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben wir schon auf Seite 18 formuliert. Wir wiederholen ihn der Vollständigkeit halber und fügen einen zweiten Satz an. Satz Erster Hauptsatz der Integralrechnung Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: ​ :  a ​  b ​ f​= F(b) – F(a) Beachte: Mit diesem Satz kann man ein bestimmtes Integral einer stetigen Funktion f berechnen, wenn man eine Stammfunktion von f kennt. Satz Zweiter Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Die reelle Funktion f sei im Intervall A stetig und es sei a * A. Dann ist die Integralfunktion I a eine Stammfunktion von f. Beweis: Sei F eine Stammfunktion von f. Dann ist I a  (x) = F(x) – F(a). Daraus folgt I a ’(x) = F’(x) – 0 = f(x). Somit ist I a eine Stammfunktion von f.  Beachte: Dieser Satz stellt sicher, dass eine stetige Funktion stets eine Stammfunktion besitzt. a x f 0 : a x f A(a, x) = Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv