Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

48 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung � 2.105 Ein Körper bewegt sich zum Zeitpunkt t * [a; b] mit der Geschwindigkeit v(t) (in m/s). Berechne die Längen der Wege, die der Körper in der ersten bzw. zweiten Hälfte des Zeitinter- valls [a; b] zurücklegt! In welcher der beiden Hälften legt der Körper einen längeren Weg zurück? a) v(t) = 2t, [a; b] = [0; 4] b) v(t) = 9 _ t, [a; b] = [0; 9] c) v(t) = t 2 , [a; b] = [2; 3] � 2.106 Ein Auto beschleunigt. Es sei s(t) der Ort, v(t) die Geschwindigkeit und a(t) die Beschleunigung des Autos zum Zeitpunkt t. Was gibt der folgende Ausdruck an? 1) v’(t) 2) :  t 1   t 2 v(t) dt 3) :  t 1   t 2 a(t)dt 4) :  t 1   t 2 v’(t) dt 5) :  t 1   t 2 a’(t) dt � 2.107 Um ein elastisches Band um die Länge x > 0 auszudehnen, ist die Kraft F(x) = – kx – ax 2 erforderlich (a und k konstant). Stelle eine Formel für die Arbeit auf, die man verrichten muss, um das Band von x = 0 bis x = m zu dehnen! � 2.108 Ein Auto fährt bergauf. Nebenstehend ist der Kraftaufwand in Abhängigkeit vom zurück gelegten Weg dargestellt. 1) Beschreibe die Änderungsrate des Kraft- aufwands in Worten! Gibt es eine Stelle, an der diese Änderungsrate gleich 0 ist? 2) Was gibt der Inhalt der grün unterlegten Fläche an? 3) Das Auto hat eine Masse von 1 000 kg. Wie groß ist seine Beschleunigung nach 500m? � 2.109 Die Leistung eines Wasserboilers ist maßgeblich für das Ausmaß, mit dem elektrische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird. Das Verhalten eines bestimmten Wasserboilers lässt sich durch eine Zeituhr folgendermaßen einstellen: Der Boiler arbeitet drei Minuten lang mit der maximalen Leistung von 3600 Watt (Joule/Sekunde). In der darauffolgenden Minute nimmt seine Leistung linear auf 1 200 Watt ab. Dann schaltet sich der Boiler für zwei Minuten aus und leistet anschließend vier Minuten lang 2400 Watt. 1) Stelle den Verlauf der Leistung durch einen Graphen dar! 2) Wie groß ist die mittlere Leistung in den angegebenen zehn Minuten? 3) Ermittle den Energieverbrauch (in Kilojoule) in den angegebenen zehn Minuten! � 2.110 In einem Staubecken fließt Wasser zu und ab. Der Verlauf der Zuflussgeschwindigkeit v (in ® /h) kann für einen bestimmten Tag dem nebenstehenden Graphen entnommen werden. Das Becken ist um 0 Uhr nicht leer. Kreuze an, was zutrifft und was nicht! trifft zu trifft nicht zu Um 12 Uhr und um 18 Uhr war das Becken leer.   Zweimal am Tag gab es weder Zu- noch Abfluss.   Um 6 Uhr war am meisten Wasser im Becken.   Von 12 Uhr bis 18 Uhr floss Wasser aus.   :  0   24 v(t) dtgibt das Wasservolumen im Becken um 24 Uhr an.   2500 5000 500 1 000 0 Kraft (in N) (in m) Weg 20000 – 20000 40000 4 8 12 16 20 24 0 Zuflussgeschwindigkeit v ( ® /h) v Zeit t (in h) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv