Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

47 x 2.6 Kontrolle: Grundwissen und Grundkompetenzen � 2.98 Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x 3 – x. Berechne ​ :  –1 ​  1 ​ f(x)​dx! Ist dieses Integral identisch mit dem Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse einschließt? Begründe! � 2.99 f’(x) = 3x 2 – 12x + 9, g(x) = 4x – 12 1) Bestimme die Funktion f so, dass f und g eine Nullstelle gemeinsam haben! Zeige, dass die Graphen der beiden Funktionen einander auch an der Stelle 4 schneiden! 2) Zeichne die Graphen von f und g und berechne den Inhalt der Fläche, die von den beiden Graphen für x º 3 eingeschlossen wird! � 2.100 Eine Mauer ist 10m hoch und hat in jeder Höhe eine ungefähr rechteckige waagrechte Schnitt- fläche. Die Breite (in Meter) der Mauer in der Höhe von z Metern ist gegeben durch b(z) = ​  1 _  100 ​· (​z​ 2 ​+ 10z + 2000). Die Dicke der Mauer nimmt von 30m an der tiefsten Stelle (z = 0) bis zu 10m an der höchsten Stelle (z = 10) linear ab. Wie viel Kubikmeter Baumaterial sind zur Errichtung dieser Mauer nötig? � 2.101 Ein Auto, das die Geschwindigkeit 20m/s hat, bremst so, dass seine Geschwindigkeit t Sekunden nach Beginn des Bremsvorgangs gleich v(t) = 20 – 0,2t 2 (in m/s) ist. 1) Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? 2) Wie lang ist der zurückgelegte Weg bis zum Stillstand? 3) Wie lang ist der Anhalteweg, wenn der Bremsvorgang erst nach 0,8 s beginnt? � 2.102 Ein U-Bahn-Zug fährt von einer Station zur nächsten. Er beschleunigt zuerst, fährt dann mit gleichbleibender Geschwindigkeit und bremst dann wieder ab. Der Verlauf der Geschwin- digkeit kann dem nebenstehenden Graphen entnommen werden. Beantworte anhand des Graphen: 1) Wie lang beschleunigt der Zug? Wie groß ist dabei die Beschleunigung? Welche Strecke legt er dabei zurück? 2) Wie lang bremst der Zug? Wie groß ist dabei die Verzögerung (negative Beschleunigung)? Welche Strecke legt er dabei zurück? 3) Wie lang fährt der Zug mit gleichbleibender Geschwindigkeit? Welche Strecke legt er dabei zurück? 4) Wie weit sind die beiden Stationen voneinander entfernt? � 2.103 Ein Hubschrauber steigt senkrecht vom Boden auf. Seine Geschwindigkeit nach t Sekunden ist gegeben durch v(t) = – ​  1 _  150 ​t​ 2 ​+ ​  2 _ 5 ​t (m/s). 1) Zeichne den Graphen der Funktion v: t ¦ v(t) (Computer!) 2) Zu welchem Zeitpunkt steigt der Hubschrauber am schnellsten? 3) Nach welcher Zeit erreicht der Hubschrauber seinen höchsten Punkt? 4) Wie hoch liegt der höchste Punkt über dem Boden? � 2.104 Ein Körper bewegt sich zum Zeitpunkt t mit der Geschwindigkeit v(t) (in m/s). Stelle den Weg, den er zwischen den Zeitpunkten a und b zurücklegt, als Integral dar und berechne dieses! a) v(t) = (t – c) 2 , a = 0, b = c (c > 0) b) v(t) = ​e​ kt ​, a = 0, b = ​  1 _ k ​ (k > 0) Ó 5 10 15 20 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 0 Geschwindigkeit (in m/s) (in s) Zeit Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verla s öbv