Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

46 y x c f 2.6 Kontrolle: Grundwissen und Grundkompetenzen Grundwissen � 2.86 Wie kann man den Inhalt der Fläche berechnen, die vom Graphen einer stetigen Funktion f im Intervall [a; b] mit der ersten Achse eingeschlossen wird, wenn die Funktion f a) nur Funktionswerte º 0, b) nur Funktionswerte ª 0 annimmt? � 2.87 Wie kann man die Länge eines im Zeitintervall [t  1  ; t 2  ] zurückgelegten Weges berechnen, wenn eine Geschwindigkeitsfunktion t ¦ v(t) gegeben ist, die in [t  1  ; t 2  ] nur Werte º 0 annimmt! � 2.88 Es sei A(z) der Inhalt der Querschnittsfläche eines Körpers in der Höhe z (0 ª z ª 4). Wie kann man das Volumen des Körpers mit einem Integral berechnen? Erkläre anhand einer Skizze! Was muss über die Funktion A vorausgesetzt werden? � 2.89 Der Graph der Funktion f im Intervall [a; b] rotiert um die x-Achse. Warum kann das Volumen des dabei entstehenden Rotationskörpers nach folgender Formel berechnet werden: V = π · ​ :  a ​  b ​ [f(x)​]​ 2 ​dx​ � 2.90 Wird ein Körper durch eine konstante Kraft von a nach b bewegt, dann lautet die Formel für die verrichtete Arbeit: W(a, b) = F · (b – a). Wie verändert sich diese Formel, wenn die Kraft längs dieses Weges nicht konstant ist? � 2.91 Es sei P(t) die Leistung einer Maschine zum Zeitpunkt t (0 ª t ª m). Wie kann man die von der Maschine im Zeitintervall [0; m] verrichtete Arbeit berechnen? � 2.92 Schreibe eine Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte dieses Kapitels in knapper Form! Grundkompetenzen � 2.93 Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegt wird! a) f(x) = ​ 3 9 __ ​x​ 2 ​​+ 2, [0; 4] b) f(x) = 2 – sinx, ​ 4 0; ​  3 π  _ 2  ​  5 ​ � 2.94 Es sei f: [0; 2] ¥ R ‡ x ¦ ​x​ 2 ​. Bestimme c * [0; 2] so, dass die von f in [0; c] festgelegte Fläche den gleichen Inhalt hat wie die von f in [c; 2] festgelegte Fläche! � 2.95 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f: x ¦ (x – 1) 3 + 8 und von den beiden Koordinatenachsen begrenzt wird! � 2.96 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f und der Parallelen zur x-Achse durch den Punkt (0 1 4) begrenzt wird! a) f: x ¦ x 2 b) f: x ¦ – x 2 + 13 c) f: x ¦ – x 2 + 4x + 4 d) f: x ¦ x 2 + x + 2 � 2.97 Wie groß ist der Inhalt der Fläche, die zwischen den Graphen f und g liegt? a) f(x) = 9 – x 2 , g(x) = ​  1 _ 4 ​· (x 2 – 9) c) f(x) = 5​ 9 __ 2x​, g(x) = 5x · ​ 9 _ ​  x _ 2 ​ ​ b) f(x) = 2x 2 , g(x) = ​  1 _ 2 ​x 2 + 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv