Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

45 2.5 Integrale von Änderungsraten 2.83 Nebenstehend ist die Förderrate R eines Erzbergwerks im Verlauf von 50 Jahren dargestellt. 1) Wie viel wurde im ersten Jahr gefördert? 2) Wann ungefähr war die Förderrate am größten? 3) In welchem Jahrzehnt wurde am meisten gefördert? 4) Wann wurde die Förderung eingestellt? 5) Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? 6) Stelle die gesamte geförderte Erzmenge als Integral dar! 2.84 Nebenstehend sind die Geburtenrate G und die Sterberate S für eine Population (beide in Individuen pro Jahr) im Verlauf von 15 Jahren dargestellt. 1) In welchem Zeitraum hat die Population zugenommen, in welchem abgenommen? 2) Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? Stelle diesen durch ein Integral dar! 3) Wann ungefähr war der Individuenzuwachs am stärksten? 2.85 Aus einer Öffnung am Boden eines Gefäßes fließt Wasser ab. Das Volumen der Wassermenge, das sich t Sekunden nach Beginn des Abfließens noch im Gefäß befindet, sei V(t). Die Abflussrate zu diesem Zeitpunkt t sei V’(t) = 2t – 10 (in Liter pro Sekunde), sofern t ª 5 ist. Ursprünglich sind 25 ® im Gefäß. 1) Gib das Volumen V(t) des Wassers an, das nach t Sekunden noch im Gefäß ist! 2) Um wie viel Liter nimmt das Volumen im Zeitintervall [2; 4] ab? Wichtige Schlussbemerkung zum Integralbegriff Ein Integral haben wir bisher auf vielfache Weise gedeutet: als Flächeninhalt, als Volumen, als Weglänge, als Arbeit, usw. Das Integral selbst ist aber mit keiner dieser Deutungen identisch. In der Definition von Ober- und Untersumme sowie der Definition des Integrals ist keine Rede von Flächeninhalten, Volumina, Weglängen usw. Das Integral ist somit ein abstrakter Oberbegriff für die einzelnen Deutungen. Integral  Flächeninhalt  Volumen  Weglänge  Arbeit  … Beachte: Oft wird der Integralbegriff fälschlicherweise mit dem Flächeninhaltsbegriff identifiziert. Dass das Integral aber nicht mit dem Flächeninhalt identisch ist, zeigt die folgende einfache Überlegung. Der Graph der nebenstehend abgebildeten Funktion ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs. Der Inhalt der Fläche, den der Graph von f im Intervall [a; b] mit der 1. Achse einschließt, ist sicher positiv, es gilt jedoch:   ​ :  a ​  b ​ f = 0​ 10 20 R 30 10 20 30 40 50 0 Förderrate R (in 1 000 Tonnen/Jahr) Zeit t (in Jahren) 100 200 300 5 10 15 20 0 G S Geburtenrate G Sterberate S Jahre f 0 b a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv