Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

43 2.4 Physikalische Anwendungen des Integrals Leistung Die Leistung wird in der Physik so definiert: Leistung =   Arbeit __  Zeit  Wird im Zeitintervall [a; b] die konstante Leistung P erbracht, dann gilt: Arbeit = Leistung · Zeit W(a, b) = P · (b – a) Ist die Leistung jedoch zeitlich variabel, so wird jedem Zeitpunkt t * [a; b] die Leistung P(t) zugeordnet und man erhält: W(a, b) = :  a   b P(t) dt Falls P konstant ist, ergibt sich die ursprüngliche Formel als Spezialfall: W(a, b) = :  a   b Pdt= P · :  a   b 1 · dt= P · t  1 a   b = P · (b – a) Geleistete Arbeit kann als Energie freigesetzt oder gespeichert werden. Wir halten fest: Satz Ist P(t) die Leistung zu einem Zeitpunkt t * [a; b], dann ist die im Zeitintervall [a; b] verrichtete Arbeit gegeben durch: W(a, b) = :  a   b P(t) dt Merke Die Arbeit (bzw. benötigte oder erzeugte Energie) ist das Integral der Leistung nach der Zeit . Die Maßeinheit der Leistung ist Watt (W). 1W = 1 J/s. Aufgaben Grundkompetenzen 2.76 Begründe die Formel W(a, b) = :  a   b P(t) dtmit dem Leibniz’schen Dreischrittverfahren! 2.77 Die von einem Heizstrahler in einem bestimmten Zeitintervall abgegebene Wärmeenergie ist gleich der von dem Heizstrahler in diesem Zeitintervall geleisteten Arbeit. Ein bestimmter Heiz- strahler lässt sich durch eine Zeituhr so einstellen, dass sein Leistungsverlauf dem folgenden Graphen entspricht. Ermittle anhand des Graphen die im Zeitintervall [0; 10] abgegebene Wärmeenergie! 2.78 Die Leistung einer defekten Maschine nimmt im Verlauf von 24 Stunden exponentiell von 7,2MJ/h auf 2,51MJ/h ab. Wieviel Arbeit wird dabei verrichtet? 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 Leistung P(t) (in MJ/h) Zeit (in h) P Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv