Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

42 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.72 Wird eine Schraubenfeder wie in nebenstehender Abbildung aus ihrer Ruhelage 0 bis zur Lage x gestaucht, so ist der Betrag der rücktreibenden Kraft gegeben durch: F(x) = – k · x. Dabei ist die positive Zahl k die sogenannte Federkonstante, die vom Material und der Bauart der Feder abhängt. 1) Was bedeutet das Vorzeichen von F(x)? 2) Eine Schraubenfeder mit der Federkonstanten k = 400 ​  N _  m ​ werde von der Gleichgewichtslage 0 bis zur Lage x = –0,05m gestaucht. Wie groß ist die Arbeit, die die Feder verrichtet, wenn sie sich wieder bis zur Ruhelage ausdehnt? Lösung: 1) Aus der Formel F(x) = – k · x erkennt man: F(x) > 0  É  x < 0 Positives Vorzeichen von F(x) bedeutet, dass sich eine gestauchte Feder ausdehnt. F(x) < 0  É  x > 0 Negatives Vorzeichen von F(x) bedeutet, dass sich eine gedehnte Feder zusammenzieht. 2) F(x) = – 400 · x W(– 0,05; 0) = ​ :  –0,05 ​  0 ​ F(x) dx​= ​ :  –0,05 ​  0 ​ (– 400 · x) dx​= – 400 · ​ ​ ​ :  –0,05 ​  0 ​ x dx​= – 400 · ​  ​x​ 2 ​ _  2 ​  1 ​ –0,05 ​  0 ​= 0,5 (J) Aufgaben Grundkompetenzen 2.73 Wird eine Schraubenfeder (wie in Aufgabe 2.72) aus ihrer Ruhelage 0 bis zur Lage x gestaucht, so ist der Betrag der rücktreibenden Kraft gegeben durch: F(x) = –k · x. Die Federkonstante k habe den Wert  a) 100N/m,  b) 200N/m,  c) k 0 N/m. Die Feder werde von der Gleichgewichtslage 0 bis zur Lage x = – 0,1m gestaucht. Wie groß ist die Arbeit, die die Feder verrichtet, wenn sie sich wieder bis zur Ruhelage ausdehnt? 2.74 Wird eine Schraubenfeder (wie in Aufgabe 2.72) aus ihrer Ruhelage 0 bis zur Lage x gestaucht, so ist der Betrag der rücktreibenden Kraft gegeben durch: F(x) = – k · x. Verdoppelt sich die Arbeit, wenn  1) k doppelt so groß wird,  2) die Feder doppelt so weit gestaucht wird? 2.75 Auf einen im Gravitationsfeld der Erde befindlichen Körper wirkt die Gravitationskraft F(r) = G · ​  M· m _ ​r​ 2 ​ ​ . Dabei ist r die Entfernung des Körpers vom Erdmittelpunkt (in Meter), M die Erdmasse (in Kilogramm), m die Masse des Körpers (in Kilogramm) und F(r) die Anziehungskraft (in Newton). G = 6,67 · 10 –11  m 3 kg –1 s –2 ist die Gravitationskonstante. 1) Gib eine Formel für die Arbeit an, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse m aus der Entfernung r 1 vom Erdmittelpunkt in die Entfernung r 2 vom Erdmittelpunkt zu bringen! 2) Berechne die Arbeit (in Joule), die verrichtet werden muss, um einen 1 t schweren Körper von der Erdoberfläche in 300 km Höhe zu bringen! (Erdradius R ≈ 6378 km; Erdmasse M ≈ 5,97 · 10 24  kg) 3) Berechne die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse 100 kg von der Erdoberfläche um einen Erdradius zu entfernen! x 10 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv