Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

41 y x c f 2.4 Physikalische Anwendungen des Integrals Arbeit Ein Körper werde durch eine Kraft _  À  Fmit dem Betrag F geradlinig vom Ort a zum Ort b bewegt, wobei vorausgesetzt wird, dass die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt und der Betrag F der Kraft konstant ist (siehe nebenstehende Abbildung). Die dabei verrichtete Arbeit ist definiert durch: Arbeit = Kraft ·Weg W(a, b) = F · (b – a) Wir nehmen nun an, dass zwar die Kraftrichtung mit der Wegrichtung übereinstimmt, der Betrag F der Kraft jedoch nicht konstant ist. Jedem Ort x * [a; b] wird dadurch ein Betrag F(x) der Kraft zu- geordnet. Was soll man in diesem Fall unter der verrichteten Arbeit verstehen? Wir denken uns das Intervall [a; b] in Teilintervalle der Länge Δ x zerlegt. Die im Teilintervall [x; x + Δ x] verrichtete Arbeit sei Δ W. Wir gehen nun nach dem Leibniz’schen „Dreischrittverfahren“ vor: 1. Schritt: Δ W ≈ F(x) · Δ x 2. Schritt: Für die gesamte Arbeit W(a, b) gilt somit: W(a, b) ≈ ;    F(x)· Δ x 3. Schritt: Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ x ist. Für Δ x ¥ 0 ergibt sich: W(a, b) = :  a   b F(x) dx Falls F konstant ist, ergibt sich die ursprüngliche Formel als Spezialfall: W(a, b) = :  a   b Fdx= F · :  a   b 1 · dx= F · x  1 a   b = F · (b – a) Wir halten fest: Satz Ein Körper werde durch eine Kraft von a nach b bewegt. Für jedes x * [a; b] sei F(x) der Betrag dieser Kraft. Dann ist die dabei verrichtete Arbeit gegeben durch: W(a, b) = :  a   b F(x) dx Merke Die Arbeit ist das Integral der Kraft nach dem Weg . Im Folgenden messen wir die Weglänge stets in Meter (m), die Kraft in Newton (N) und die Arbeit in Joule (J). Dabei gilt: 1 J = 1Nm. F a b 0 Δ x 0 a x x + Δ x b F(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv