Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

39 2.3 Volumina 2.60 Eine Ellipse mit der Gleichung b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert 1) um die x-Achse, 2) um die y-Achse. Berechne jeweils das Volumen des entstehenden Rotationsellipsoids! Lösung: 1) 2) Aus der Ellipsengleichung folgt: Aus der Ellipsengleichung folgt: y 2 = b 2 –   b 2 _ a 2 x 2 x 2 = a 2 –   a 2 _ b 2 y 2 Nach dem obigen Satz ergibt sich: Nach dem obigen Satz ergibt sich:   V _  2 = π · :  0   a 2  b 2 –   b 2 _ a 2 x 2   3 dx   V _  2 = π · :  0   b 2  a 2 –   a 2 _  b 2 y 2   3 dy Rechne selbst! Es ergibt sich: V =   4 π  _ 3  ab 2 Rechne selbst! Es ergibt sich: V =   4 π  _ 3  a 2 b Aufgaben Grundkompetenzen 2.61 Der zwischen den Geraden x = –2a und x = 2a liegende Teil der Hyperbel hyp: b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 rotiert a) um die x-Achse, b) um die y-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Rotations hyperboloids! 2.62 a) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel y 2 = 2px um die x-Achse für –2p ª y ª 2p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! b) Ein Paraboloid entsteht durch Drehung der Parabel x 2 = 2py um die y-Achse für –2p ª x ª 2p. Stelle eine Formel für das Volumen des Paraboloids auf! 2.63 Der Graph der Funktion f rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des entstehenden Drehkörpers! a) f(x) =   1 _ 3 x, 0 ª x ª 5 c) f(x) = 3 9 _ x, 1 ª x ª 27 e) f(x) = ax 2 , 0 ª x ª a b) f(x) =   3 _ 5 x + 2, 1 ª x ª 5 d) f(x) = 2e x , –1 ª x ª 3 f) f(x) = ax 3 + 8, 0 ª x ª a y y x x a -a 0 b -b X = (x 1 y) y x y x a -a 0 b -b X = (x 1 y) y y x a 2a -a -2a 0 x a 2a -a -2a 0 zweischaliges Rotationshyperboloid einschaliges y x y y 2p -2p 0 x y 2p -2p 0 x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv