Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

38 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Volumina von Rotationskörpern Bei der Herleitung der Formel V(K) = :  a   b A(z) dzhaben wir Ebenen normal zur z-Achse gelegt. Legt man Ebenen normal zur x-Achse oder y-Achse, erhält man durch analoge Überlegungen: V(K) = :  a   b A(x) dx bzw. V(K) = :  a   b A(y) dy � Dreht sich der nebenstehend abgebildete Graph der Funktion f um die x-Achse, entsteht ein Drehkörper (Rotationskörper). Wir setzen y = f(x). Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle x gilt: A(x) = y 2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = :  a   b A(x) dx= :  a   b y 2 · π dx= π · :  a   b y 2 dx � Analog gehen wir vor, wenn sich der Graph von f um die y-Achse dreht. Wir setzen voraus, dass sich die Gleichung y = f(x) eindeutig nach x auflösen lässt, dh. dass die Umkehrfunktion von f existiert: x = f*(y). Für den Inhalt der Querschnittsflächenfunktion an der Stelle y gilt dann: A(y) = x 2 · π Für das Volumen des Rotationskörpers ergibt sich: V = :  c   d A(y) dy= :  c   d x 2 · π dy= π · :  c   d x 2 dy Wir haben somit bewiesen: Satz Es sei f eine reelle Funktion mit y = f(x), a ª x ª b und c ª y ª d. Dreht sich der Graph der Funktion f um eine Koordinatenachse, dann gilt für das Volumen des entstehenden Rotations körpers (1) bei Drehung um die x-Achse : (2) bei Drehung um die y-Achse : V = π · :  a   b y 2 dx V = π · :  c   d x 2 dy f y x a b x y x y x c f d y f y x a b x y x y y x d c f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv