Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

37 2.3 Volumina Herleitung von Volumsformeln 2.57 Leite die Volumsformel V =   G · h _ 3  für eine Pyramide mit dem Grundflächeninhalt G und der Höhe h her! Lösung: Es seien a und a’ die nebenstehend eingezeichneten Strecken- längen. Nach dem Strahlensatz gilt: a’ : a = (h – z) : h. Aus der Ähnlichkeitslehre wissen wir: Die Flächeninhalte ähnli- cher Figuren verhalten sich wie die Quadrate entsprechender Streckenlängen in diesen Figuren. Daher gilt für den Inhalt A(z) der Querschnittsfläche in der Höhe z und den Inhalt G der Grundfläche: A(z) : G = (a’) 2 : a 2 = (h – z) 2 : h 2 Daraus ergibt sich: A(z) =   G · (h – z) 2 __  h 2 =   G _  h 2 · (h 2 – 2hz + z 2 ) Die Querschnittsflächenfunktion A ist eine Polynomfunktion und daher stetig in [0; h]. Somit gilt: V(K) = :  0   h A(z) dz= :  0   h G _  h 2 · (h 2 – 2hz + z 2 ) dz=   G _  h 2 · :  0   h (h 2 – 2hz + z 2 ) dz=   G _  h 2 · 2  h 2 z – hz 2 +   z 3 _  3   3   1 0   h = =   G _  h 2 · 2  h 3 – h 3 +   h 3 _  3    3 =   G _  h 2 ·   h 3 _  3  =   G · h _  3  Bemerkung: Die Formel A =   c · h _ 2  für den Flächeninhalt eines Dreiecks kann auf elementare Weise aus der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks gewonnen werden. Beispielsweise kann sie aus der neben stehenden Abbildung abgelesen werden. Eine analoge elementare Herleitung der Formel V =   G · h _ 3  für das Volumen einer Pyramide ist aber nicht möglich. Diese Formel kann man nur mit infinitesimalen Methoden herleiten, dh. mit Methoden, denen Grenzprozesse zugrundeliegen (wie mittels Integration). Aufgaben Grundkompetenzen 2.58 Leite die Formel V =   r 2 π h _ 3  für das Volumen eines Kreiskegels mit dem Radius r und der Höhe h her! 2.59 Leite die Formel V = r 2 π h für das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h her! h z 0 a' a c h II II I I h z r 0 h z r 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv