Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

34 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung 2.51 Im Allgemeinen ist die Beschleunigung eines Autos nicht konstant. Bei höheren Geschwindig- keiten nimmt sie ab und wird schließlich 0 (bei Erreichen der Höchstgeschwindigkeit). Angenommen, ein Auto beschleunigt aus dem Stand (s(0) = 0, v(0) = 0), wobei seine Beschleuni- gung t Sekunden nach dem Start annähernd durch a(t) = 3,2 – 0,16t + 0,002t 2 (m/s 2 ) gegeben ist und diese Formel bis zu dem Zeitpunkt gilt, für den a(t) = 0 ist. 1) Wie lange beschleunigt das Auto? 2) Gib eine Formel für die Geschwindigkeit v(t) zum Zeitpunkt t an! 3) Bestimme die Höchstgeschwindigkeit in m/s und km/h! 4) Wie lang ist der Weg, den das Auto bis zum Zeitpunkt t zurücklegt? 5) Wie lang ist der Weg bis zur Erreichung der Höchstgeschwindigkeit? Approximation von Weglängen durch Summen Es sei v eine im Zeitintervall [a; b] stetige Geschwindigkeits- funktion, die nur nichtnegative Werte annimmt. Wir wollen die Länge w(a, b) des in diesem Zeitintervall zurückgelegten Weges ermitteln. Dazu teilen wir das Zeitintervall in gleich lange Teilintervalle der Länge Δ t (siehe nebenstehende Abbildung). Für die Länge Δ w des in einem Teilintervall zurückgelegten Weges gilt: Δ w ≈ v(t) · Δ t Die gesamte Weglänge w(a, b) ist näherungsweise gleich der Summe der Längen dieser Teilwege: w(a, b) ≈ ;  ​  ​v(t)​· Δ t Wir stellen uns nun vor, dass die Zeitintervalle der Länge Δ t immer kürzer und kürzer werden, wodurch sich die Summe auf der rechten Seite im Allgemeinen immer mehr der Weglänge w(a, b) annähert. Schließlich werden diese Zeitintervalle „unendlich kurz“. Die „unendlich kurze“ Dauer eines solchen Zeitintervalls bezeichnen wir mit dt (siehe nebenstehende Abbildung). Die „unendlich kleine“ in einem solchen Zeitintervall zurückgelegte Weglänge beträgt somit v(t)·dt und die Länge des Gesamtweges ist gleich der „Summe“ dieser „unendlich kleinen“ Weglängen: w(a, b) = ​ ;  ​  ​v(t)​· dt Um auszudrücken, dass es sich dabei um eine Summe aus „unendlich vielen unendlich kleinen Produkten“ handelt, schreiben wir: w(a, b) = ​ :  a ​  b ​ v(t) dt​ Eine Weglängenberechnung nach Leibniz läuft also in drei charakteristischen Schritten ab: Weglängenberechnung nach LEIBNIZ: 1. Schritt: Δ w ≈ v(t) · Δ t 2. Schritt: w(a, b) ≈ ;  ​  ​v(t)​· Δ t 3. Schritt: Diese Näherung gilt im Allgemeinen umso genauer, je kleiner Δ t ist. Für Δ t ¥ 0 ergibt sich: w(a, b) = ​ :  a ​  b ​ v(t) dt​ a t t + Δ t b Δ t a b dt t t + Δ t a b Δ t Ó  Lernapplet sv9i7y Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv