Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

33 2.2 Weglängen Aufgaben Grundkompetenzen 2.45 Wir nehmen an, dass ein Auto bei einer Vollbremsung nach einer Schrecksekunde pro Sekunde etwa 8m/s an Geschwindigkeit verliert. Ist v 0 die Geschwindigkeit bis zum Beginn der Bremsung, so ist also die Geschwindigkeit t Sekunden nach Beginn der Bremsung annähernd durch v(t) = v 0 – 8t gegeben. 1) Stelle Formeln für die Länge des Bremsweges und des Anhalteweges in Abhängigkeit von v 0 auf! 2) Berechne die Länge des Bremsweges und des Anhalteweges für v 0 = 8m/s bzw. 20m/s! 3) Wie 2) für v 0 = 100 km/h bzw. 150 km/h! Berechnung von Weglängen bei vorgegebener Beschleunigungsfunktion 2.46 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 2m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = t (m/s 2 ). Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeit intervall 1) [ t 1 ; t 2 ], 2) [2; 3]? Lösung: Es sei v: t ¦ v(t) die Geschwindigkeitsfunktion und a: t ¦ a(t) die Beschleunigungsfunktion. Es gilt: v’(t) = a(t). Die Geschwindigkeitsfunktion v ist also eine Stammfunktion der Beschleuni- gungsfunktion a und somit von der Form: v(t) =   1 _ 2 t 2 + c Aus v(0) = 2 folgt c = 2. Somit gilt: v(t) =   1 _ 2 t 2 + 2 1) w(t 1 ; t 2 ) = :  t 1   t 2 v(t) dt= :  t 1   t 2 2    1 _ 2 t 2 + 2  3 dt= 2    t 3 _ 6 + 2t  3   1 t 1   t 2 =   t 2 3 _ 6  + 2t 2 –   t 1 3 _ 6  – 2t 1 =   1 _ 6 2  t 2 3 – t 1 3   3 + 2(t 2 – t 1 ) (m) 2) w(2; 3) =   1 _ 6 · (27 – 8) + 2 · (3 – 2) =   31 _ 6  ≈ 5,2 (m) Aufgaben Grundkompetenzen 2.47 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 1m/s und wird beschleunigt. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = t(t + 1) (m/s 2 ). Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeitintervall 1) [ t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5]? 2.48 Ein Körper hat die Anfangsgeschwindigkeit 10m/s und wird verzögert. Seine Beschleunigung nach t Sekunden ist gegeben durch a(t) = – t (m/s 2 ). Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeitintervall 1) [ t 1 ; t 2 ], 2) [0; 5]? 2.49 Die Beschleunigung eines Körpers zum Zeitpunkt t sei a(t) =   1 _ 4 t (m/s 2 ). 1) Welche Geschwindigkeit hat der Körper zum Zeitpunkt t, wenn v(0) = 5m/s ist? 2) Welchen Weg legt der Körper in den ersten drei Sekunden nach dem Beginn der Beschleunigungsphase zurück? 2.50 Ein Stein fällt aus 20m Höhe. Er erfährt die konstante Erdbeschleunigung g. Zeige: 1) Die Geschwindigkeit des Steins nach t Sekunden beträgt v(t) = g · t. 2) Die Höhe des Steins nach t Sekunden beträgt h(t) = 20 –   g _ 2 t 2 2  für 0 ª t ª 9 __   40  _ g    3 . Ó Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv