Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

31 2.2 Weglängen Lösung: 1) Es gilt s’(t) = v(t). Die Zeit-Ort-Funktion s ist also eine Stammfunktion der Geschwindigkeitsfunktion v und somit von der Form: s(t) =   3 _ 2 · t 2 + c Aus s(0) = 0 folgt c = 0. Somit gilt: s(t) =   3 _ 2 · t 2 2) 1. Lösungsmöglichkeit: w(t 1 , t 2 ) = s(t 2 ) – s(t 1 ) =   3 _ 2 · t 2 2 –   3 _ 2 · t 1 2 =   3 _ 2 · (t 2 2 – t 1 2 ) (m) 2. Lösungsmöglichkeit: w(t 1 , t 2 ) = :  t 1   t 2 v(t) dt= :  t 1   t 2 3t dt= 3 ·   t 2 _ 2   1 t 1   t 2 =   3 _ 2 · (t 2 2 – t 1 2 ) (m) 3) w(2; 3) =   3 _ 2 · (3 2 – 2 2 ) = 7,5 (m) Aufgaben Grundkompetenzen 2.37 Ein Auto fährt mit der Anfangsgeschwindigkeit 10m/s und beschleunigt. Seine Geschwindigkeit t Sekunden nach Beginn des Beschleunigungsvorgangs ist näherungsweise gegeben durch v(t) = 2t + 10 (m/s). Wie lang ist der zurückgelegte Weg im Zeitintervall 1) [ t 1 ; t 2 ], 2) [0; 3], 3) [1; 3]? 2.38 Ein Auto fährt t Sekunden nach dem Beginn einer Beschleunigungsphase annähernd mit der Geschwindigkeit v(t) = 3t + 15 (m/s). Am Beginn dieser Phase ist das Auto 1 500m vom Start- punkt entfernt, von dem es sich geradlinig wegbewegt. Wie groß ist seine Entfernung s(t) vom Startpunkt zum Zeitpunkt t? 2.39 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v: t ¦ v(t) dargestellt. Was bedeutet der Inhalt der grün unterlegten Fläche? Begründe die Antwort! 2.40 Stelle den Inhalt der grün unterlegten Fläche als Integral dar! Was bedeutet dieser Inhalt, wenn f(x) die 1) Geschwindigkeit zum Zeitpunkt x ist, 2) Breite eines Flusses in der Entfernung x von der Quelle ist? 2.41 Nebenstehend ist eine Geschwindigkeitsfunktion v dargestellt. 1) Wie können die zurückgelegten Weglängen w(0; 8) und w(8; 11) in der Abbildung grafisch dargestellt werden? 2) Stelle diese Weglängen durch Integrale dar und berechne sie anhand der Abbildung! Geschwindigkeit v(t) a b 0 Zeit t v a 0 f(x) x f 2 4 6 v 2 4 6 8 10 12 14 0 Geschwindigkeit v(t) (in m/s) Zeit t (in s) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv