Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

27 2.1 Flächeninhalte Inhalte von Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen 2.15 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 3x –   1 _ 2 x 2 und die Punkte P = (2 1 f(2)) und Q = (6 1 f(6)). Berechne den Inhalt A der Fläche, die vom Graphen von f und der Geraden g = PQ begrenzt wird! Lösung: P = (2 1 4) und Q = (6 1 0) 1. Lösungsmöglichkeit: A f (2; 6) = :  2   6 2 3x –   1 _ 2 x 2   3 dx =   3 _ 2 x 2 –   1 _ 6 x 3   1 2   6 =   40 _ 3  A g (2; 6) =   1 _ 2 · 4 · 4 = 8 (Flächeninhalt eines Dreiecks) A = A f (2; 6) – A g (2; 6) =   40 _ 3  – 8 =   16 _ 3  2. Lösungsmöglichkeit: Zeige selbst, dass x + y = 6 eine Gleichung der Geraden g ist! Die Gerade ist also der Graph der linearen Funktion g mit g(x) = – x + 6. A f (2; 6) = :  2   6 2 3x –   1 _ 2 x 2   3 dx =   3 _ 2 x 2 –   1 _ 6 x 3   1 2   6 =   40 _ 3  A g (2; 6) = :  2   6 (– x + 6) dx= –   1 _ 2 x 2 + 6x  1 2   6 = 8 A = A f (2; 6) – A g (2; 6) =   40 _ 3  – 8 =   16 _ 3  3. Lösungsmöglichkeit: A = A f (2; 6) – A g (2; 6) = :  2   6 f(x) dx – :  2   6 g(x) dx= :  2   6 [f(x) – g(x)] dx = :  2   6 4  2 3x –   1 _ 2 x 2   3 – (– x + 6)  5 dx= = :  2   6 2  –   1 _ 2 x 2 + 4x – 6  3 dx= –   1 _ 6 x 3 + 2x 2 – 6x  1 2   6 =   16 _ 3  Die dritte Lösungsmöglichkeit der vorigen Aufgabe lässt sich zu einem Satz verallgemeinern. Satz Die Funktionen f und g seien in [a; b] stetig und es sei f(x) º g(x) für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A der Fläche, die von den Graphen von f und g sowie den Geraden x = a und x = b eingeschlossen wird, gilt: A = :  a   b [f(x) – g(x)] dx (Integral von „oberer“ minus „unterer“ Funktion) Beweis: Wir wählen notfalls k so, dass die Graphen von f + k und g + k über der 1. Achse liegen. Dann gilt: A = :  a   b (f + k) – :  a   b (g + k)= :  a   b [(f + k) – (g + k)]= :  a   b (f – g)  2 4 2 4 6 8 0 f(x) x P f g Q 2. A. 1. A. g 0 a b f 2. A. 1. A. 0 a b f + k g + k f g Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv