Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

25 2.1 Flächeninhalte 2.02 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f mit f(x) = x 3 – 9x 2 + 18x und der x-Achse eingeschlossen wird! Lösung: Eine Untersuchung der Funktion f liefert den abgebildeten Graphen. Die Nullstellen von f sind: 0; 3; 6. Man sieht, dass die gesuchte Fläche in zwei Teile zerfällt. A(0; 3) = :  0   3 (x 3 – 9x 2 + 18x) dx=   1 _ 4 x 4 – 3x 3 + 9x 2 1 0   3 = 20,25 A(3; 6) = – :  3   6 (x 3 – 9x 2 + 18x) dx= –   1 _ 4 x 4 + 3x 3 – 9x 2 1 3   6 = 20,25 A(0; 6) = A(0; 3) + A(3; 6) = 20,25 + 20,25 = 40,5 Beachte: Besitzt eine Funktion positive und negative Werte, dann sind die Inhalte der Flächen, die über der ersten Achse liegen, und die Inhalte der Flächen, die unter der ersten Achse liegen, getrennt zu berechnen. Aufgaben Grundkompetenzen 2.03 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = 3 – x 2 , [–1; 1] c) f(x) = 7 + x 4 , [0; 1] e) f(x) = 4x 3 + x + 1, [0; 3] b) f(x) = 8 – 2x 2 , [– 2; 0] d) f(x) = x 2 + x, [2; 3] f) f(x) = x 2 – 3, [– 3; – 2] 2.04 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) =   1 _  x 2 , [– 5; – 2] c) f(x) = 3 x , [0; 2] e) f(x) = 2x +   x 2 _  2 , [0; 2] b) f(x) = 9 _ x, [1; 9] d) f(x) = 3 9 __ x 2 , [0; 8] f) f(x) =   1 _  9 _ x , [1; 4] 2.05 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = 4 – x 2 , [2; 4] b) f(x) = –1 – 4x 4 , [–1; 2] c) f(x) = 3x 2 + 8x, [– 2; –1] 2.06 Berechne den Inhalt der von der Funktion f im angegebenen Intervall festgelegten Fläche! a) f(x) = sin x, [0; π ] b) f(x) = cos x, 4  –   π  _ 2 ;   π  _ 2   5 c) f(x) = 1 – sin x, [0; π ] 2.07 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = 3x(4 – x) 3 c) f(x) = x 2 – 5 e) f(x) = (x 2 – 1) · (x – 4) b) f(x) = x 2 – 2x – 15 d) f(x) = x 3 – x 2 f) f(x) = – x 3 – 5x 2 – 4x 2.08 Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f, der positiven 1. Achse und der 2. Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = x 2 – 9 c) f(x) = 9 _ x– 1 e) f(x) = (x – 1)(x + 1)(x + 2) b) f(x) = 2x 2 – 8x – 10 d) f(x) = x 3 – 1 f) f(x) = cos x 2 0 ª x ª   π  _ 2   3 2.09 Berechne den Inhalt der Fläche, die von dem Teil des Graphen der Funktion f, der oberhalb der x-Achse liegt, und der x-Achse eingeschlossen wird! a) f(x) = x(x 2 – 1) c) f(x) = –   1 _ 2 x 4 + 8x 2 e) f(x) = – (x – 1) 2 + 3 b) f(x) = 2x 3 – 18x d) f(x) = – x 2 + 3 f) f(x) = x 3 – 8x 2 + 16x 10 –10 3 6 0 f(x) x f Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv