Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

24 y x d c f 2 Einige Anwendungen der Integralrechnung Grundkompetenzen „� Das bestimmte Integral in verschiedenen Kontexten deuten und entsprechende Sachverhalte durch Integrale beschreiben können (Flächeninhalte, Weglängen, Volumina, Arbeit). 2.1 Flächeninhalte Flächeninhalte bei stets nichtnegativen Funktionswerten Ist die Funktion f stetig in [a; b] und f(x) º 0 für alle x * [a; b], dann gilt für den Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche: A(a, b) = ​ :  a ​  b ​ f(x) dx​ 2.01 Berechne den Inhalt der Fläche, die von der Funktion f mit f(x) = 5 – x 2 im Intervall [– 2; 2] festgelegt wird! Lösung: A(– 2; 2) = ​ :  –2​ ​  2 ​ f(x) dx​= ​ ​ :  –2​ ​  2 ​ (5 – ​x​ 2 ​) dx​= 5x – ​  1 _ 3 ​x 3 1 ​ –2​ ​  2 ​= ​  44 _  3  ​≈ 14,67 Flächeninhalte bei stets negativen Funktionswerten Falls f(x) ª 0 für alle x * [a; b] ist, spiegeln wir den Graphen der Funktion f an der x-Achse. Die gespiegelte Funktion bezeichnen wir mit ​ _ f​. Es gilt ​ _ f​(x) = – f(x) für alle x * [a; b]. Der Inhalt der von f in [a; b] festgelegten Fläche ist offensichtlich gleich dem Inhalt der von ​ _ f​in [a; b] festgelegten Fläche. Somit gilt: ​A​ f ​(a, b) = ​A​  ​ _ f​ ​(a, b) = ​ :  a ​  b ​ _ f​(x) dx​= ​ :  a ​  b ​ (– f(x)) dx​= – ​ :  a ​  b ​ f(x) dx​ Wir haben somit bewiesen: Satz Die reelle Funktion f sei in [a; b] stetig und es sei f(x) ª 0 für alle x * [a; b]. Für den Inhalt A(a, b) der von f in [a; b] festgelegten Fläche gilt: A(a, b) = – ​ :  a ​  b ​ f(x) dx​ 1 5 –2 2 0 x f(x) f 0 f(x), f¯ (x) a b f f¯ x a b f 0 x f(x) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv