Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

233 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.61 Ein Körper bewegt sich mit der Beschleunigung a(t) = – 0,5 t für t º 0 (t in Sekunden, a(t) in m/s 2 ). Seine Anfangsgeschwindigkeit beträgt v(0) = 64m/s. Aufgabenstellung: AN 3.1, AN 4.3 a) Wie viele Sekunden nach dem Zeitpunkt t = 0 kommt der Körper zum Stillstand? Wie groß ist seine Geschwindigkeit nach vier Sekunden in m/s und km/h? AN 4.3, Refl. b) Geben Sie eine Formel für den Ort s(t) des Körpers zum Zeitpunkt t an! Wie lang ist der Weg w, den der Körper vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Stillstand zurücklegt? Warum ist für die Berechnung dieser Weglänge die Angabe des Ausgangsorts unerheblich? 12.62 Ist das Gesamteinkommen eines Landes gerecht verteilt? L(x) gebe an, wie viel Prozent des Gesamteinkommens eines Landes von den „einkommensschwächsten“ x% der Einwohner des Landes erwirtschaftet werden. In der folgenden Abbildung ist der Graph der Funktion x ¦ L(x) schwarz gezeichnet. Dieser Graph heißt Lorenz-Kurve (benannt nach dem amerikanischen Mathematiker Max Otto Lorenz, 1876 –1959). Wenn das Einkommen gleichmäßig verteilt ist, ergibt sich die rot eingezeichnete Diagonale, denn in diesem Fall haben die einkommensschwächsten 20% der Bevölkerung 20% des Gesamteinkommens, die einkommensschwächsten 40% der Bevölkerung 40% des Gesamteinkommens, usw. Da aber das Gesamteinkommen ungleich verteilt ist, ergibt sich der schwarz gezeichnete Graph, der unterhalb dieser Diagonale verläuft. Der sogenannte Gini-Koeffizient ist folgendermaßen definiert: Gini-Koeffizient = ​  Inhalt der Fläche zwischen Diagonale und Lorenzkurve ________     Inhalt der Dreiecksfläche unter der Diagonale  ​ Aufgabenstellung: FA 1.4, Refl. a) Entnehmen Sie der Abbildung näherungsweise, wie viel Prozent des Gesamteinkommens die ärmsten 20% der Bevölkerung bzw. die reichsten 20% der Bevölkerung erhalten! Wie ändert sich die Lorenz-Kurve, wenn die „Armen immer ärmer und die Reichen immer reicher“ werden? FA 1.7, AN 4.2 b) Begründen Sie, dass der Gini-Koeffizient ein Maß für die Ungleichheit der Einkommens­ verteilung ist! Welche Werte kann der Gini-Koeffizient annehmen? Wann würde er den kleinstmöglichen, wann den größtmöglichen Wert annehmen? Berechnen Sie den Gini-Koeffizienten für den Fall, dass die Lorenz-Kurve näherungsweise durch L(x) = 0,2 · x 4 + 0,4 · x 3 + 0,4 · x 2 für 0 ª x ª 1 gegeben ist, wobei für x und L(x) nicht die Prozentzahlen, sondern die relativen Anteile einzusetzen sind (zB 0,4 statt 40%). FA 1.7, Refl. c) Der Gini-Koeffizient von Österreich im Jahre 2011 betrug 0,27. Spricht dies eher für starke Gleichheit oder starke Ungleichheit der Einkommen? Begründen Sie die Antwort! 20 40 60 80 100 20 40 60 80 100 0 L Prozent des Gesamteinkommens Prozent der Bevölkerung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv