Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

231 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.56 Polynomfunktionen sind wichtige Funktionen. Aufgabenstellung: FA 4.1, FA 4.4 a) Was versteht man unter einer Polynomfunktion vom Grad n? Was lässt sich über die Anzahl der Nullstellen, Extremstellen bzw. Wendestellen solcher Funktionen aussagen? Begründen Sie die Antworten! Skizzieren Sie einen möglichen Funktionsverlauf für n = 5! FA 1.2, FA 4.1 b) Geben Sie eine Termdarstellung einer Polynomfunktion vom Grad 2 an, deren Graph durch den Ursprung geht. Verschieben Sie anschließend diesen Graphen um 2 nach rechts und 3 nach oben und geben Sie eine Termdarstellung der dazugehörigen Funktion an! FA 4.1, Refl. c) Gegeben ist eine Polynomfunktion der Form f(x) = ax 2 + c mit a, b * R . Was lässt sich über den Graphen von f aussagen, wenn a positiv bzw. negativ ist? Wie ändert sich der Graph, wenn c wächst? AN 3.3, Refl. d) Der Graph einer Polynomfunktion vom Grad 3 besitzt den Hochpunkt (–3 1 54), geht außerdem durch den Ursprung und weist dort die Steigung –27 auf. Begründen Sie, dass der Graph symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist! 12.57 Eine Halbkugel und ein kegelförmig ausgehöhlter Zylinder mit gleichem Radius und gleicher Höhe ruhen auf einer Ebene (in der Abbildung sind Querschnitte gezeichnet). Der Mathematiker Bonaventura Cavalieri (1598–1647) stellte einen Satz auf, der nach ihm als Cavalieri’sches Prinzip bezeichnet wird: Werden zwei Körper, die auf einer Ebene E ruhen und die gleiche Höhe h haben, von Ebenen parallel zu E geschnitten und sind die Inhalte der beiden Schnittflächen in jeder Höhe z einander gleich, dann haben die beiden Körper gleiches Volumen. Aufgabenstellung: AG 2.1, AN 4.1 a) Zeigen Sie mit Hilfe des Cavalieri’schen Prinzips, dass die beiden dargestellten Körper dasselbe Volumen haben! AN 4.2, AN 4.3 b) Begründen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass die beiden Körper dasselbe Volumen besitzen! AG 2.1, Refl. c) Zeigen Sie mit Hilfe elementargeometrischer Volumsformeln, dass die beiden Körper dasselbe Volumen haben! 12.58 Gegeben ist die Funktion f: R ¥ R ‡ x ¦ x 3 – 3x. Aufgabenstellung: AN 3.3, Refl. a) Ermitteln Sie die Hoch- und Tiefpunkte des Graphen von f und skizzieren Sie den Graphen! Besitzt f eine globale Maximum- bzw. Minimumstelle? Begründen Sie die Antwort! FA 1.5, AN 3.3 b) Ermitteln Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f! AG 2.1, FA 1.5 c) Beweisen Sie: Der Graph von f ist symmetrisch bezüglich des Ursprungs, aber nicht symmetrisch bezüglich der 2. Achse. AG 2.1, FA 1.5 d) Geben Sie eine Termdarstellung einer Funktion g an, die symmetrisch bezüglich der 2. Achse, aber nicht symmetrisch bezüglich des Ursprungs ist. Beweisen Sie dies! FA 1.5, Refl. e) Gibt es eine reelle Funktion, deren Graph sowohl symmetrisch bezüglich des Ursprungs als auch symmetrisch bezüglich der 2. Achse ist? Wenn ja, geben Sie eine solche an! r r r r r E r z x z z Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv