Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

229 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.51 Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 6x – x 2 und g mit g(x) = x 2 – 2x. Aufgabenstellung: FA 1.6, AN 2.1 1) Ermitteln Sie die Extremstellen und Nullstellen der beiden Funktionen sowie die Schnittpunkte der beiden Graphen! AN 4.2, AN 4.3 2) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des zwischen den beiden Funktionen liegenden Flächenstücks! 12.52 Die Produktionskosten (in Euro) eines Betriebs setzen sich aus Fixkosten und den variablen Kosten zusammen, die bei der Produktion von x Einheiten eines Produkts anfallen. Der Erlös (Umsatz) ist der Betrag, der beim Verkauf von x Einheiten des Produkts eingenommen wird, der Gewinn ist die Differenz aus Erlös und Kosten. In der folgenden Abbildung sind eine Kostenfunktion K, eine Erlösfunktion E und die Gewinn- funktion G dargestellt. Aufgabenstellung: FA 1.6, FA 1.7 a) Begründen Sie, warum von diesen drei Funktionen K die Kosten-, E die Erlös- und G die Gewinnfunktion darstellt! FA 2.2, FA 2.4 b) Ermitteln Sie die Fixkosten sowie die Produktionskosten pro Stück in diesem Betrieb und geben Sie eine Termdarstellung der Kostenfunktion K an! FA 4.3, AN 3.3 c) Geben Sie die Zahlen E(0), E(200) und E(400) an und interpretieren Sie diese im Kontext! Was gibt die Stelle x an, für die E’(x) = 0 gilt? AG 2.3, Refl. d) Die Funktion E ist näherungsweise eine Polynomfunktion vom Grad 2. Geben Sie Formeln für E(x) und G(x) an und berechnen Sie damit, für welche Stückzahlen die Produktion gewinn- bringend verläuft! Was könnte man unter dem Gewinnbereich des Betriebs verstehen? 12.53 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(t) = k · (e – e –t  ) (mit k > 0). Aufgabenstellung: FA 5.1, AN 3.3 a) Ermitteln Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f und zeichnen Sie den Graphen von f für k = 1! FA 1.5, AN 4.3 b) Der Graph von f schließt mit den beiden Koordinatenachsen ein Flächenstück ein. Berechnen Sie dessen Inhalt! FA 1.7, Refl. c) Die Funktion f beschreibt für t º 0 einen Wachstumsprozess. Welchem Wert nähert sich f(t) mit wachsendem t unbegrenzt? Bestimmen Sie k so, dass f(0) = 10 6 ist! FA 1.7, Refl. d) Im Zeitintervall [0; T] soll f(t) um die Hälfte anwachsen. Zeigen Sie, dass T von k unabhängig ist und berechnen Sie T! 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 3 500 4000 4500 0 K E G Stückzahl Euro Ó Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv