Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

228 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.49 Die folgenden Graphen stellen drei Funktionen f, g und h dar, wobei f eine Polynomfunktion der Form x ¦ a · x 2 + b, g eine Exponentialfunktion der Form x ¦ c · a x und h eine Wurzelfunktion der Form x ¦ n 9 _ xdarstellt. Aufgabenstellung: FA 1.2, Refl. a) Beschriften Sie jeweils den Graphen mit f, g bzw. h und die 2. Achse mit f(x), g(x) bzw. h(x)! AN 1.3, AN 3.3 b) Beschreiben Sie für alle drei Funktionen in Worten den Verlauf der (momentanen) Änderungsrate und begründen Sie, warum diese in R + niemals kleiner als 0 werden kann! AN 1.3, AN 4.3 c) Was geben die Ausdrücke :  0   16 f(x) dx, g’(16) und   h(16) – h(0) __ 16  an? AN 4.2, AN 4.3 d) Berechnen Sie den Inhalt der von f, g bzw. h in [0; 16] festgelegten Fläche! 12.50 Über dem Rand eines b Meter breiten Brunnenbeckens ist in d Meter Höhe ein Rohr angebracht, aus dem ein Wasserstrahl horizontal mit der Geschwindigkeit v (in m/s) austritt. Der Wasser- strahl trifft in der Horizontalentfernung w auf die Wasseroberfläche des Beckens auf. Für die Höhe h(x) des Wasserstrahls in der Horizontalentfernung x gilt ungefähr: h(x) = –   5 _  v 2 · x 2 + d (0 ª x ª w) Aufgabenstellung: AG 2.3, FA 3.1 a) Angenommen, es ist b = 1,79m und d = 1m. Mit welcher Geschwindigkeit v darf der Wasserstrahl höchstens aus dem Rohr austreten, um nicht über den Beckenrand hinaus zu kommen? AG 1.2, AG 2.1 b) Angenommen, es sind b = 1,75m und v = 3,5m/s fix vorgegeben. Wie hoch darf das Rohr höchstens angebracht werden, damit der Wasserstrahl noch auf der Wasseroberfläche des Beckens auftrifft? AN 1.3, AN 2.1 c) Angenommen, es ist w = 1,8m und v = 3m/s. Welchen Winkel bildet der Wasserstrahl mit der horizontalen Wasseroberfläche, wenn er gerade die halbe Horizontalentfernung zurückgelegt hat? Wie groß ist dieser Winkel beim Aufprall? FA 1.4, Refl. d) Zeigen Sie, dass allgemein gilt: Der Wasserstrahl befindet sich in drei Viertel der Rohrhöhe, wenn er die halbe Horizontalentfernung zurückgelegt hat. FA 2.6, Refl. e) Ist w bei konstantem d zu v direkt proportional? Ist w bei konstantem v zu d direkt proportional? Begründen Sie die Antworten! x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 x 4 8 12 16 1 2 3 4 0 d x h(x) w b 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv