Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

227 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.46 In der Abbildung ist die Geschwindigkeit v eines Autos in Abhängigkeit von der Zeit t dargestellt. Aufgabenstellung: FA 2.2, AN 1.3 a) Von welcher Art ist die Bewegung des Autos? Was lässt sich über die Beschleunigung des Autos aussagen? AN 4.3, Refl. b) Was gibt der Inhalt der grün unterlegten Fläche an? Stellen Sie diesen Inhalt durch ein Integral dar! AG 2.2, FA 2.3 c) Wie ändert sich der Graph von v, wenn das Auto mit der gleichen Beschleunigung, aber mit der Ausgangsgeschwindigkeit 9m/s fährt? Ermitteln Sie rechnerisch, nach welcher Zeit in diesem Fall die Geschwindigkeit 18m/s erreicht wird! FA 2.2, Refl. d) Wie ändert sich der Graph von v, wenn das Auto mit der gleichen Ausgangsgeschwindigkeit, aber höherer konstanter Beschleunigung fährt? Zeichnen Sie einen möglichen Graphen in die Abbildung ein! 12.47 Die Funktion T: [0; 6] ¥ R ‡ t ¦ ​  1 _ 3 ​t 3 – 3t 2 + 8t + 4 beschreibt ungefähr den Temperaturverlauf eines chemischen Prozesses (in °C) während der ersten sechs Minuten . Aufgabenstellung: FA 1.4, Refl. a) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion T und beschreiben Sie den Temperaturverlauf in Worten! FA 1.4, AN 1.1 b) Wie groß ist die absolute bzw. relative Temperaturänderung im Zeitintervall [0; 6]. FA 1.4, AN 1.3 c) Auf das Wievielfache wächst die Temperatur im Zeitintervall [0; 6]? Wie groß ist die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitintervall? AN 1.3, Refl. d) Beschreiben Sie in Worten, wie sich die momentane Temperaturänderungsrate mit zunehmender Zeit ändert! AG 2.3, AN 1.3 e) Berechnen Sie die momentane Temperaturänderungsrate zum Zeitpunkt t = 0 und interpretieren Sie das Vorzeichen des Ergebnisses! Gibt es einen weiteren Zeitpunkt mit gleicher Temperaturänderungsrate? Wenn ja, geben Sie diesen an! AN 1.3, Refl. f) Geben Sie ein Zeitintervall an, in dem die mittlere Temperaturänderungsrate negativ ist! FA 1.5, AN 2.1 g) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Graph von T sein Krümmungsverhalten ändert! AN 1.3, Refl. h) Die Funktion d 0 mit d 0  (t) = ​  T(t) – T(0) __ t – 0  ​heißt Differenzenquotientenfunktion bezüglich t = 0. Für welche t * [0; 6] ist diese Funktion definiert? Was gibt d 0 (6) an? Wie kann die momentane Änderungsrate T’(0) mit Hilfe von d 0 definiert werden? 12.48 Der Radweg von A nach B soll durch Anfügen eines Parabelstücks bis C verlängert werden (Koordinaten in Kilometer). Dabei soll beim Durchfahren des Punktes B keine ruckartige Änderung der Richtung erfolgen. Aufgabenstellung: FA 2.2, Refl. a) Ermitteln Sie eine Termdarstellung der Funktion f, deren Graph die gesuchte Parabel ist! FA 1.5, AN 2.1 b) In welchem Punkt liegt der Scheitel dieser Parabel? t (in s) 6 12 18 10 0 v(t) (in m/s) 2 4 6 A B C 8 –2 –4 –6 –8 –10 2 4 0 f(x) x Nur zu P üfzwecken – Eigentum des Verlags öbv