Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

226 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.43 Die Ableitung der Funktion f: [– 3; 3] ¥ R ist durch f’(x) = (x + 1)(x – 2) 2 gegeben. Der Graph von f enthält den Punkt (–2 1 6). Aufgabenstellung: FA 1.2, AN 4.2 a) Zeichnen Sie den Graphen von f! Welcher Funktionstyp liegt vor? FA 1.5, FA 4.3 b) Berechnen Sie den größten und kleinsten Wert von f und geben Sie an, für welche x * [– 3; 3] die Beziehung f(x) º f(2) gilt! 12.44 Für eine Bewegung lässt sich die Abhängigkeit der Geschwindigkeit v von der Zeit t annähernd durch die Funktion v mit v(t) = ​  ​t​ 2 ​ _ 10 ​+ ​  t _ 5 ​modellieren (t in Sekunden, v(t) in m/s). Aufgabenstellung: AN 2.1, AN 4.2 a) Geben Sie Termdarstellungen der Beschleunigungsfunktion a: t ¦ a(t) und der Zeit-Ort- Funktion s: t ¦ s(t) mit s(0) = 0 für diese Bewegung an! Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen s, v und a in ein passendes Koordinatensystem! AG 2.2, AN 1.3 b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit in den ersten fünf Sekunden? Zu welchem Zeitpunkt ist die Momentangeschwindigkeit gleich dieser mittleren Geschwindigkeit? AN 1.3, Refl. c) Wie groß ist die mittlere Beschleunigung in den ersten fünf Sekunden? Um wie viel nimmt die Geschwindigkeit im Mittel pro Sekunde zu? AN 4.3, Refl. d) Für eine langsamere Bewegung ist die Beschleunigungsfunktion a durch den nebenstehenden Graphen gegeben. Entnehmen Sie der Abbildung die Geschwindigkeitszunahme im Zeitintervall [0; 5], ohne eine Termdarstellung für v aufzustellen? Begründen Sie Ihr Vorgehen! 12.45 In der folgenden Abbildung ist die Geschwindigkeit v eines Körpers in Abhängigkeit von der Zeit t im Verlauf von fünf Sekunden dargestellt. Aufgabenstellung: FA 2.2, AN 1.3 a) Berechnen Sie v’(3) und interpretieren Sie das Ergebnis im Zusammenhang mit der Bewegung des Körpers! FA 2.2, AN 1.3 b) Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in diesen fünf Sekunden? Wie kann man diese aus der Abbildung ablesen? AN 4.3, Refl. c) Was gibt der Inhalt der grün unterlegten Fläche an? Begründen Sie Ihre Antwort! AN 4.3, Refl. d) Ist die folgende Aussage wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort! ​ :  0 ​  1 ​ v(t) dt​= ​ :  4 ​  5 ​ v(t) dt​ FA 2.2, Refl. e) Wie ändert sich der Graph von v, wenn sich der Körper mit höherer Ausgangsgeschwindigkeit, aber gleicher Beschleunigung bewegt? FA 2.2, Refl. f) Wie ändert sich der Graph von v, wenn sich der Körper mit gleicher Ausgangsgeschwindigkeit, aber höherer konstanter Beschleunigung bewegt? t (in s) 0,15 1,05 5 0 a (in m/s 2 ) 1 2 3 5 4 3 2 1 0 v (in m/s) t (in s) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv