Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

225 12 Maturavorbereitung: Analysis 12.39 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = 2x 3 – 4x 2 . Aufgabenstellung: AG 1.2, FA 1.4 a) Zeichnen Sie den Graphen von f und ermitteln Sie die Nullstellen von f! AN 4.2, Refl. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit der x-Achse zwischen den beiden Nullstellen einschließt! Ist dieser mit dem bestimmten Integral von f zwischen den beiden Nullstellen gleichzusetzen? Begründen Sie die Antwort! AN 4.3, Refl. c) Eine Funktion f nehme im Intervall [a; b] nur negative Werte an. Beschreiben Sie, wie man den Inhalt der Fläche berechnen kann, der von f in [a; b] festgelegt wird! 12.40 Gegeben ist die reelle Funktion f mit f(x) = x 3 – x. Aufgabenstellung: AG 2.1, AN 4.2 a) Berechnen Sie das bestimmte Integral von f im Intervall [–1; 1]! AN 4.2, AN 4.3 b) Berechnen Sie den Inhalt jener Fläche, die der Graph von f mit der 1. Achse einschließt! AN 4.3, Refl. c) Was fällt bei einem Vergleich der Ergebnisse aus 1) und 2) auf? Erklären Sie! Geben Sie eine Termdarstellung einer weiteren Funktion an, für die sich etwas Analoges feststellen lässt! 12.41 Die folgende Abbildung zeigt ein Rechteck und einen gebogenen Streifen mit der gleichen (konstanten) Breite z. Aufgabenstellung: AG 1.2, Refl. a) Begründen Sie, dass beide Flächen den gleichen Flächeninhalt haben, indem Sie die rechte Fläche in Teile zerlegen und diese anders zusammensetzen! AN 4.1, Refl. b) Begründen Sie, dass beide Flächen den gleichen Flächeninhalt haben, indem Sie die rechte Fläche durch Rechtecksflächen approximieren! AN 4.2, Refl. c) Begründen Sie, dass beide Flächen den gleichen Flächeninhalt haben, indem Sie die rechte Fläche als Fläche auffassen, die von den Graphen zweier Funktionen in [a; b] eingeschlossen wird! 12.42 Fließt in einem elektrischen Leiter mit dem Widerstand R im Zeitintervall [a; b] ein Strom mit der konstanten Stromstärke I, dann wird in dieser Zeit die Wärmemenge W(a, b) = I 2  · R · (b – a) freigesetzt. Ist hingegen die Stromstärke nicht konstant, wird jedem Zeitpunkt t * [a; b] eine Stromstärke I(t) zugeordnet und die in [a; b] freigesetzte Wärmemenge ist gegeben durch: W(a, b) = R · ​ :  a ​  b ​ I​ 2 ​(t) dt​ Aufgabenstellung: AN 4.1, Refl. a) Begründen Sie diese Formel mittels Approximation des Integrals durch Summen! AG 2.1, AN 4.2 b) Nach dem Ohm’schen Gesetz gilt U(t) = R · I(t). Drücken Sie W(a, b) durch R und U(t) aus! Ó 1. A. 1. A. 2. A. 2. A. 0 z a b 0 z a b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv