Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

21 1.5 Sätze über Integrale 1.36 Berechne möglichst geschickt: a) :  1   4 (100x 2 – 150x) dx d) :  4   5 2    1 _ 5 9 _ x–   2 _ 5 9 _ x  3 dx g) :  0   π 24 · (1 + sin x) dx b) :  0   1 2    π  _ 4 x 3 +   π  _ 4   3 dx e) :  m   2m a 2 _ 2  (t 2 – 1) dt; (m > 0) h) :  1   2 2 6 x –   6 _ x   3 dx c) :  1   2 2  k · x +   k _  x 2   3 dx f) :  u   2u 2    4 _  x 3 –   4 _  x 2   3 dx; (u > 0) i) :  2   4 2 5x –   5 _ x   3 dx 1.37 Berechne möglichst geschickt: a) :  0     π  _ 2 sin x dx + :    π  _  2   π sin x dx b) :  0   1 e x dx + :  1   2 e x dx c) :  1   e a _ 5 2 2x +   2 _ x   3 dx + :  e   2e a _ 5 2 2x +   2 _ x   3 dx 1.38 Berechne möglichst geschickt: a) :  0   1 2(x – 1) dx + :  0   1 (x – 1) dx – :  0   1 x – 1 _ 2  dx d) :  0     π  _  4 (sinx + cos x) dx + :  0     π  _ 4 sin x dx – :  0     π  _ 4 cos x dx b) :  1   4 3 · 2 x – 1 dx – :  1   4 2 x – 1 dx – :  1   4 2 x dx e) :  1   e 1 _ x dx + :  1   e 2 _ x dx + :  1   e 3 _ x dx + :  1   e 4 _ x dx c) :  0     π  _ 2 cos 2 x dx + :  0     π  _ 2 sin 2 x dx f) :  0   1 (1 – x) dx + :  1   2 (1 – x) dx – :  0   2 (1 – x) dx Integranden der Form f(k · x) Satz Besitzt die Funktion x ¦ f(x) eine Stammfunktion x ¦ F(x), dann besitzt die Funktion x ¦ f(k · x) (mit k ≠ 0) die Stammfunktion x ¦   1 _ k · F(k · x). Beweis: G(x) =   1 _ k · F(k · x) w G’(x) =   1 _ k · F’(k · x) =   1 _ k · k · f(k · x) = f(k · x)  Beispiel: :  0     π  _ 2 sin(2x) dx=   1 _ 2 · [– cos(2x)]  1 0     π  _  2 =   1 _ 2 · (– cos π + cos 0) =   1 _ 2 · (1 + 1) = 1 Aufgaben Vertiefung 1.39 Berechne: a) :  0   π (– cos(3t)) dt b) :  0   π 2  cos 2    1 _ 2 t  3 + sin 2    1 _ 2 t  3   3 dt c) :    T _ 2   T r · cos 2    2 π  _ T  t  3 dt; (T > 0) 1.40 Berechne: a) :  0   4 e 2x dx b) :  0   8 5 · e –x dx c) :  –1   1 a 2x dx; (a * R + , a ≠ 1) d) :  –1   1 a –2x dx; (a * R + , a ≠ 1) 1.41 Für welche Werte von a gilt: a) :  0   a sin(2x) =   1 _ 2 ; (0 ª a ª 2 π ) b) :  0   a cos   x _ 2 = 2; (0 ª a ª 2 π ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv