Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

207 11 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten 11.52 Eine Hängebrücke führt über eine Schlucht. Der stählerne Brückenbogen trägt zwei übereinander liegende, an Stahlseilen hängende Fahrbahnen, eine für Züge und eine für Autos. Der Brücken­ bogen kann durch eine Polynomfunktion vom Grad 2 beschrieben werden, wobei gilt: „� Der Abstand der beiden Auflagepunkte A und B beträgt 50m. „� Der höchste Punkt des Brückenbogens liegt 30m über der horizontalen Verbindungsstrecke der Punkte A und B. „� Das längste Halteseil, das die Zugfahrbahn trägt, hat eine Länge von 19,2m. „� Die Länge der Autofahrbahn innerhalb des Brückenbogens (dh. von E bis F) beträgt 30m. Aufgabenstellung: FA 3.1 Refl. a) Wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem und geben Sie eine Termdarstellung der Funktion f an, die den Brückenbogen beschreibt! FA 1.4 FA 1.6 b) Wie lang ist die Zugfahrbahn innerhalb des Brückenbogens (dh. von C bis D)? FA 1.4 FA 1.6 c) Ermitteln Sie den vertikalen Abstand der Autofahrbahn von der Zugfahrbahn! 11.53 Betrachten Sie Polynomfunktionen vom Grad 2! Aufgabenstellung: FA 4.4 Refl. a) Wie sehen die Graphen solcher Funktionen aus? Wie viele Nullstellen kann eine solche Funktion höchstens haben? Begründen Sie die Antwort! AG 2.3 FA 4.3 b) Für welche a * R hat die Funktion f mit f(x) = x 2 – 3ax + 18 genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle? AG 2.3 FA 4.3 c) Unter welcher Bedingung hat die Funktion g mit g(x) = x 2 + ax + b genau zwei Nullstellen, genau eine Nullstelle bzw. keine Nullstelle? 11.54 Gegeben sei eine Exponentialfunktion f der Form f(x) = a x (mit a > 0). Aufgabenstellung: AG 2.1 FA 5.4 a) Gilt für alle x * R : f(x + 1) = a · f(x)? Wenn ja, beweisen Sie dies! AG 2.1 Refl. b) Welche der folgenden Beziehungen gelten für alle x, y * R ? Beweisen Sie oder widerlegen Sie durch Gegenbeispiele! (1) f(x + y) = f(x) + f(y) (2) f(x · y) = f(x) · f(y) (3) f(x + y) = f(x) · f(y) (4) f(x · y) = f(x) + f(y) AG 2.1 FA 5.4 c) Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Graphen von g: x ¦ ​ 2  ​  1 _ a ​  3 ​ x ​und dem Graphen von f? Begründen Sie die Antwort durch Rechnung! A B D F C E Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv