Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

20 f x 2 x 1 x 3 x 4 _ _ _ _ a x 2 x 1 x 0 x 3 x 4 b 0 A. 1. 1.5 Sätze über Integrale Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass jede stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt. Dass dies zutrifft, werden wir im Kapitel 3 genauer begründen. Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; b] stetig und es sei c * R . Dann gilt: ​ :  a ​  b ​ c · f = c · ​ :  a ​  b ​ f​ Beweis: Ist F eine Stammfunktion von f, dann ist c · F eine Stammfunktion von c · f. Damit gilt: ​ :  a ​  b ​ c · f​= (c · F)(b) – (c · F)(a) = c · F(b) – c · F(a) = c · [F(b) – F(a)] = c · ​ :  a ​  b ​ f​  Satz Die reellen Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig. Dann gilt: ​ :  a ​  b ​ (f + g) = ​ :  a ​  b ​ f + ​ :  a ​  b ​ g​ Beweis: Sind F und G Stammfunktionen von f bzw. g, dann ist F + G eine Stammfunktion von f + g. Damit gilt: ​ :  a ​  b ​ (f + g)​= (F + G)(b) – (F + G)(a) = [F(b) + G(b)] – [F(a) + G(a)] = = [F(b) – F(a)] + [G(b) – G(a)] = ​ :  a ​  b ​ f + ​ :  a ​  b ​ g​  Satz Die reelle Funktion f sei im Intervall [a; c] stetig und es sei a < b < c. Dann gilt: ​ :  a ​  b ​ f​+ ​ :  b ​  c ​ f​= ​ :  a ​  c ​ f​ Beweis: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ​ :  a ​  b ​ f​+ ​ :  b ​  c ​ f​= [F(b) – F(a)] + [F(c) – F(b)] = F(c) – F(a) = ​ :  a ​  c ​ f​  Dieser Satz ist anschaulich einleuchtend, wenn man die Integrale als Flächeninhalte wie in nebenstehender Abbildung deutet. Aufgaben Vertiefung 1.35 Die Funktionen f und g seien im Intervall [a; b] stetig und es seien c, d * R . Beweise: a) ​ :  a ​  b ​ (– f)​= – ​ :  a ​  b ​ f​    b)  ​ :  a ​  b ​ (c · f + d · g)​= c · ​ :  a ​  b ​ f + d · ​ :  a ​  b ​ g​    c)  ​ :  a ​  b ​ (c · f – d · g)​= c · ​ :  a ​  b ​ f – d · ​ :  a ​  b ​ g​ b a c f Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv