Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

189 10 Maturavorbereitung: Algebra und Geometrie 10.44 Gegeben ist ein Dreieck ABC mit dem Schwerpunkt S. Aufgabenstellung: AG 3.2 Refl. a) Was ergibt ​ ​ _  À  SA​+ ​ ​ _  À  SB​+ ​ ​ _  À  SC​? AG 3.1 AG 3.3 b) Drücken Sie jeden Eckpunkt des Dreiecks durch die beiden anderen Eckpunkte und den Schwerpunkt S aus! AG 3.3 Refl. c) Die Punkte P, Q, R teilen die Seiten AB, BC, CA des Dreiecks jeweils im Verhältnis k : 1 (mit k * N *). Was lässt sich über die Schwerpunkte der Dreiecke ABC und PQR aussagen? 10.45 Gegeben ist ein Viereck ABCD. Es seien P, Q, R und S die Mittelpunkte der Seiten dieses Vierecks. Aufgabenstellung: AG 3.3 Refl. a) Welches spezielle Viereck bilden die Punkte P, Q, R und S? Überlegen Sie mit Hilfe einer Skizze und beweisen Sie die Vermutung! AG 3.3 Refl. b) Wenn die Diagonalen des Vierecks ABCD einander halbieren, ist dann das Viereck ein Parallelogramm? Begründen Sie Ihre Antwort durch einen Beweis oder ein Gegenbeispiel! AG 3.2 Refl. c) Zeigen Sie, dass Folgendes gilt: A + B + C + D = P + Q + R + S Überprüfen Sie dies anhand der Koordinaten eines selbst gewählten Vierecks! 10.46 Gegeben ist das Viereck ABCD mit A = (–3 1 6 1 – 8), B = (7 1 5 1 – 2), C = (17 1 9 1 14) und D = (7 1 10 1 8). Aufgabenstellung: AG 3.3 Refl. a) Berechnen Sie die Mittelpunkte der Diagonalen des Vierecks! Begründen Sie, warum sich aus dem Ergebnis schließen lässt, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist! AG 4.1 Refl. b) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD kein Rechteck ist! AG 3.4 Refl. c) Geben Sie eine Parameterdarstellung der Geraden g an, auf der die Punkte A und C liegen und erläutern Sie die Bedeutung des Parameters! AG 3.2 Refl. d) Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an! Aussage trifft zu Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.  In einem Parallelogramm ABCD gilt stets ​ ​ _  À  AB​· ​ ​ _  À  CD​≠ 0.  In einem Parallelogramm gilt stets ​ ​ _  À  AC​· ​ ​ _  À  BD​= 0.  Sind die Vektoren ​ ​ _  À  AB​und ​ ​ _  À  DC​nicht parallel, dann ist das Viereck ABCD kein Trapez.  Gilt ​ _ AB​= ​ _ CD​, dann ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm.  10.47 Von einem Quader ABCDEFGH kennt man A = (9 1 3 1 12), B = (3 1 11 1 36), C = (–1 1 –1 1 39) und ​ _ AE​= 338. Aufgabenstellung: AG 3.2 AG 3.3 a) Weisen Sie nach, dass die Kanten AB und BC miteinander einen rechten Winkel bilden! Geben Sie die Koordinaten aller Eckpunkte des Quaders an und berechnen Sie sein Volumen! AG 3.2 Refl. b) Alle Kantenlängen des Quaders werden verdoppelt, wobei der Eckpunkt A unverändert bleibt. Wie lauten jetzt die Koordinaten der Eckpunkte? Auf das Wievielfache wächst das Volumen? G C F B A D E H Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv