Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

18 f x 2 x 1 x 3 x 4 _ _ _ _ a x 2 x 1 x 0 x 3 x 4 b 0 A. 1. 1.4 Berechnung von Integralen mit Stammfunktionen Bisher konnten wir Integrale nur näherungsweise mit Hilfe von Ober-, Unter- oder Zwischen- summen berechnen. In diesem Abschnitt lernen wir eine bequemere Methode kennen, die häufig anwendbar ist. Satz Erster Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Ist die reelle Funktion f im Intervall [a; b] stetig und ist F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt: :  a   b f (x) dx = F(b) – F(a) Begründung: Wir betrachten eine Zerlegung Z = (x 0 1 x 1 1 x 2 1 … 1 x n ) des Intervalls [a; b] und setzen Δ F i = F(x i + 1 ) – F(x i ). Wir wenden nun das „Dreischrittverfahren“ nach Leibniz an. 1. Schritt: Anhand der nebenstehenden Abbildung erkennt man, dass für die Steigung von F in einem Teilungspunkt x i gilt: F’(x i ) ≈   Δ F i _Δ x i Daraus folgt: Δ F i ≈ F’(x i ) · Δ x i = f(x i ) · Δ x i 2. Schritt: Ebenso erkennt man anhand der Abbildung: F(b) – F(a) = ;  i = 1   n Δ F i ≈ ;  i = 1   n f(x i ) · Δ x i 3. Schritt: Diese Näherung wird im Allgemeinen umso genauer, je kleiner die Längen Δ x i sind. Wenn die Feinheit der Zerlegung (dh. die Länge des größten Teilintervalls) gegen 0 strebt, ergibt sich: F(b) – F(a) = :  a   b f(x) dx  1.26 Berechne: :  1   3 x 2 dx Lösung: Eine Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = x 2 ist die Funktion F mit F(x) =   x 3 _  3 . Damit ergibt sich nach dem obigen Satz: :  1   3 x 2 dx= F(3) – F(1) =   3 3 _  3  –   1 3 _  3 =   27 _ 3  –   1 _  3 =   26 _ 3  Zur Abkürzung verwendet man folgende Schreibweise: F(x )  1 a   b = F(b) – F(a) oder 4 F(x)  5 a   b = F(b) – F(a) Unter Verwendung dieser Schreibweisen sieht die Berechnung des Integrals in der letzten Aufgabe so aus: :  1   3 x 2 dx=   x 3 _  3   1 1   3 =   3 3 _  3  –   1 3 _  3 =   27 _  3  –   1 _  3 =   26 _ 3  oder :  1   3 x 2 dx= 4    x 3 _  3   5 1   3 =   3 3 _  3  –   1 3 _  3 =   27 _ 3  –   1 _ 3 =   26 _ 3  a x n – 1 x 1 x 2 x 0 x n b 0 F(x) x F Δ F 1 Δ x 1 Δ x 1 Δ x 2 Δ F 2 Δ F n Δ x n Δ x n Δ x 2 F(a) F(b) F(b) – F(a) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv