Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

177 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Satz Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern μ und σ und es seien x, x 1  , x 2 * R . Sind z, z 1  , z 2 die dazugehörigen z-Werte, dann gilt: (1) P(X ª x) = Φ (z) = Φ ​ 2  ​  x – μ _ σ  ​  3 ​ (2) P(X º x) = 1 – Φ (z) = Φ (– z) (3) P(​x​ 1 ​ ª X ª x 2 ) = Φ (z 2 ) – Φ (z 1 ) Satz Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt mit den Parametern μ und σ , dann gilt: P( μ – z · σ ª X ª μ + z · σ ) = 2 · Φ (z) – 1 Für z = 1, 2 bzw. 3 erhält man: P( μ – σ ª X ª μ + σ ) ≈ 0,683 = 68,3% P( μ – 2 · σ ª X ª μ + 2 · σ ) ≈ 0,954 = 95,4% P( μ – 3 · σ ª X ª μ + 3 · σ ) ≈ 0,997 = 99,7% Bestimmt man also durch einen Zufallsversuch sehr oft Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen X, so werden praktisch alle Werte im Intervall [ μ – 3 σ ; μ + 3 σ ] liegen. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Satz Grenzwertsatz von DeMOIVRE und LAPLACE (in „lockerer“ Formulierung): Ist n genügend groß, dann kann eine Binomialverteilung mit den Parametern n und p näherungsweise durch eine Normalverteilung mit den Parametern μ = n · p und σ = ​ 9 _______ n · p · (1 – p)​ersetzt werden. Faustregel: Eine Binomialverteilung darf näherungsweise durch eine Normalverteilung ersetzt werden, wenn n · p ·  (1 – p) > 9 ist. Schätzen von Anteilen Zur Schätzung des unbekannten relativen Anteils p eines Merkmals in einer Grundgesamtheit wird eine Stichprobe von großem Umfang n erhoben. In dieser ergibt sich der Wert h für die relative Häufigkeit des untersuchten Merkmals. Die Menge aller Schätzwerte für p, deren zuge­ hörige γ -Schätzbereiche den in der Stichprobe beobachteten Wert h überdecken, heißt Konfidenz­ intervall mit der Sicherheit γ (kurz: γ - Konfidenzintervall ) für den unbekannten relativen Anteil p. γ -Konfidenzintervall für p ≈ ​ 4  h – z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​ ; h + z · ​ 9 _____ ​  h · (1 – h) _ n  ​​  5 ​ Dabei ist z so zu bestimmen, dass Φ (z) = ​  1 + γ _ 2  ​ gilt. Frequentistische Deutung eines γ - Konfidenzintervalls: Würde man sehr oft Stichproben vom Umfang n erheben und für jede Stichprobe nach der angegebenen Formel ein γ -Konfidenzintervall berechnen, so würden diese Intervalle bei ca. 100 · γ % aller Stichproben den unbekannten relativen Anteil p überdecken. x Φ (z) z Φ (– z) 1 – Φ (z) z – z 0 x Φ (z 2 ) – Φ (z 1 ) z 2 z 1 x 1 x 2 μ 2 . Φ (z)–1 0 z –z μ + z . σ μ – z . σ Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv