Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

176 9 Kompendium zur Maturavorbereitung Die Binomialverteilung Satz Ein Zufallsversuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Tritt dabei ein Ereignis E jedes Mal mit der Wahrscheinlichkeit p ein, dann gilt für die absolute Häufigkeit H des Eintretens von E: P(H = k) = 2  n    k 3 · p k · (1 – p) n – k (für 0 ª k ª n) � Durch die Wahrscheinlichkeitsfunktion k ¦ P(H = k) wird eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt, die man als Binomialverteilung mit den Parametern n und p bezeichnet. Die Zufallsvariable H heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p . � P(H = k), P(H ª k) bzw. P(H º k) kann auf verschiedene Weisen berechnet werden: – mit Hilfe der oben angegebenen Formel für P(H = k), – mit Hilfe der Tabellen auf den Seiten 267 bis 270, – mit Hilfe von Computerprogrammen (siehe Mathematik verstehen 7, Seite 218). Satz Ist H eine binomialverteilte Zufallsvariable mit den Parametern n und p, dann gilt für den Erwartungswert und die Varianz von H: μ = E(H) = n · p, σ 2 = V(H) = n · p · (1 – p) Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable kann alle Werte in einem Intervall – das auch ganz R sein kann – annehmen. � Eine Normalverteilung mit den Parametern μ und σ wird durch folgende Dichtefunktion f beschrieben: Dichtefunktion einer Normalverteilung: f(x) =   1 _  9 __ 2 πσ · e –  1 _ 2 · 2    x – μ _ σ    3 2 (für x * R ) � Die zugrundeliegende Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern μ und σ . � Der Graph von f wird als Gauß’sche Glockenkurve bezeichnet. � Die Zahl μ heißt Erwartungswert von X , die Zahl σ heißt Standardabweichung von X . � Die Normalverteilung mit μ = 0 und σ = 1 heißt Standardnormalverteilung . Die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung wird mit φ , die Vertei- lungsfunktion mit Φ bezeichnet. Φ (z) gibt den Inhalt der von φ in ]– • ; z] festlegten Fläche an. Die Werte Φ (z) kann man der Tabelle auf Seite 269 entnehmen. � Der Übergang von einer Normalverteilung zur Standardnormalverteilung heißt Standardisieren und entspricht einem Skalenübergang (von der x-Skala zur z-Skala, siehe Abbildung). Dabei besteht folgender Zusammenhang zwischen x und z: x = μ + z · σ bzw. z =   x – μ _  σ  μ μ – σ μ + σ x f μ – σ μ μ + z . σ μ + σ φ Φ (z) x-Skala 0 z-Skala z 1 –1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv