Malle Mathematik verstehen 8, Schulbuch

175 9.4 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik � Ordnet man jedem Wert a i seine Wahrscheinlichkeit p i = P(X = a i ) zu, erhält man die Wahrscheinlichkeitsfunktion a i ¦ p i = P(X = a i ) . Durch diese wird eine Wahrscheinlichkeits verteilung von X beschrieben. Mit wachsendem n nähert sich jede relative Häufigkeit h n (a i ) im Großen und Ganzen der Wahrscheinlichkeit p i und somit nähert sich die relative Häufigkeitsverteilung von X im Großen und Ganzen der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Dabei zeigt die Erfahrung: Empirisches Gesetz der großen Zahlen: Wird eine Versuchsserie zu je n Teilversuchen mehrfach durchgeführt und ist n groß, so weichen die einzelnen relativen Häufigkeitsverteilungen nur wenig voneinander ab und schwanken um die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung. Erwartungswert und Varianz einer diskreten Zufallsvariablen Sei X eine Zufallsvariable mit den möglichen Werten a 1 , a 2 , … , a k . Mit zunehmender Anzahl n der Versuchsdurchführungen nähern sich die relativen Häufigkeiten h n (a 1 ), h n (a 2 ), … , h n (a k ) im Großen und Ganzen den Wahrscheinlichkeiten p 1 , p 2 , … , p k der möglichen Werte und damit der Mittelwert _ xund die empirische Varianz s 2 im Großen und Ganzen den folgenden Werten μ und σ 2 : _ x = a 1 · h n (a 1 ) + … + a k · h n (a k ) s 2 = (a 1 – _ x ) 2 · h n (a 1 ) +… + (a k – _ x ) 2 · h n (a k ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ μ = a 1 · p 1 + … + a k · p k σ 2 = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + … + (a k – μ ) 2 · p k Definition Es sei X eine Zufallsvariable mit den Werten a 1 , a 2 , …, a k , die jeweils mit den Wahrscheinlich keiten p 1 , p 2 , … , p k angenommen werden. Dann nennt man � μ = E(X) = a 1 · p 1 + a 2 · p 2 + … + a k · p k den Erwartungswert von X , � σ 2 = V(X) = (a 1 – μ ) 2 · p 1 + (a 2 – μ ) 2 · p 2 + … + (a k – μ ) 2 · p k die Varianz von X , � σ = 9 ___ V(X) die Standardabweichung von X . � Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich dem Mittelwert einer sehr langen Liste von Variablenwerten. � Die Varianz (Standardabweichung) einer Zufallsvariablen ist näherungsweise gleich der empirischen Varianz (empirischen Standardabweichung) einer sehr langen Liste von Variablenwerten. Zur numerischen Berechnung der Varianz eignet sich der folgende Satz besser als die Definition: Satz Verschiebungssatz für die Varianz: σ 2 = a 1 2 · p 1 + a 2 2 · p 2 + … + a k 2 · p k – μ 2 Beachte folgende Entsprechungen: Begriff der beschreibenden Statistik Begriff der Wahrscheinlichkeitsrechnung relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Variable (Merkmal) Zufallsvariable Häufigkeitsverteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung Mittelwert Erwartungswert empirische Varianz Varianz empirische Standardabweichung Standardabweichung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv